Descomponer fracciones para que los términos se cancelen.
Las fracciones parciales para telescopio son una técnica algebraica muy potente que sirve para evaluar sumas de funciones racionales donde el denominador es un producto de factores. La estrategia principal consiste en descomponer una fracción compleja en una suma o resta de fracciones más simples. Cuando aplicas esto a una suma, la descomposición transforma el término general $a_n$ en una resta de la forma $b_n - b_{n+k}$. Esta estructura permite que los términos intermedios de la serie se cancelen —un proceso que conocemos como "telescopio"— dejando solo unos cuantos términos al principio y al final de la suma.
Esta técnica es fundamental en las matemáticas de competencia porque casi nunca es posible sumar expresiones racionales de forma directa. Por ejemplo, si quieres sumar $\frac{1}{n(n+1)}$ desde $n=1$ hasta $100$ buscando un denominador común, te darás cuenta de que es imposible hacerlo a mano. Sin embargo, si reescribes el término como $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$, la suma colapsa casi al instante. Aunque el método se asocia normalmente con denominadores que son productos de factores lineales (progresiones aritméticas), puedes generalizarlo a polinomios más complejos siempre y cuando el denominador se pueda factorizar.
El truco principal se basa en el método de coeficientes indeterminados. Para descomponer una fracción $\frac{P(x)}{Q(x)}$, la escribes como una suma de fracciones donde los denominadores son los factores de $Q(x)$ y los numeradores son constantes desconocidas. Una vez que tienes estas fracciones más simples, puedes evaluar la suma $\sum (b_n - b_{n+k})$ al notar que la parte positiva del término $n$ se cancela con la parte negativa del término $n-k$.
1. La Identidad Fundamental La descomposición más común involucra un denominador con dos factores lineales separados por una diferencia constante $k$: $$ \frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} \right) $$
2. Enteros Consecutivos (Caso Especial $k=1$) $$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $$
3. Tres Factores Consecutivos Cuando el denominador tiene tres factores, puedes descomponerlo en una resta de fracciones que tengan dos factores en el denominador: $$ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) $$
4. Resultado General de la Suma Telescópica Si puedes descomponer una sucesión $a_n$ de tal forma que $a_n = b_n - b_{n+1}$, entonces la suma finita es: $$ \sum_{n=1}^{N} a_n = \sum_{n=1}^{N} (b_n - b_{n+1}) = b_1 - b_{N+1} $$ Si $a_n = b_n - b_{n+k}$, la suma conserva los primeros $k$ términos positivos y los últimos $k$ términos negativos: $$ \sum_{n=1}^{N} (b_n - b_{n+k}) = (b_1 + \dots + b_k) - (b_{N+1} + \dots + b_{N+k}) $$
Teorema: Para cualquier constante $k$ distinta de cero, puedes descomponer la fracción $\frac{1}{n(n+k)}$ como $\frac{1}{k} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} \right)$, y la suma $\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+k)}$ es telescópica.
Demostración:
Paso 1: Establecer la Descomposición Intenta descomponer la fracción $\frac{1}{n(n+k)}$ en fracciones parciales de la forma: $$ \frac{1}{n(n+k)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+k} $$ donde $A$ y $B$ son constantes. Para encontrar $A$ y $B$, quita los denominadores multiplicando ambos lados por $n(n+k)$: $$ 1 = A(n+k) + B(n) $$ $$ 1 = (A+B)n + Ak $$
Para que esta ecuación se cumpla para todo $n$, los coeficientes de las potencias correspondientes de $n$ deben ser iguales en ambos lados. Al comparar los coeficientes de $n$: $$ A + B = 0 \implies B = -A $$ Al comparar los términos constantes: $$ Ak = 1 \implies A = \frac{1}{k} $$ Al sustituir $A$ de nuevo en la expresión para $B$: $$ B = -\frac{1}{k} $$
Así que la descomposición queda: $$ \frac{1}{n(n+k)} = \frac{1/k}{n} - \frac{1/k}{n+k} = \frac{1}{k} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} \right) $$
Paso 2: Evaluar la Suma Ahora considera la suma $S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(n+k)}$. Usando la descomposición que obtuviste arriba: $$ S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{k} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} \right) = \frac{1}{k} \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} \right) $$
Escribe los términos de la suma de forma explícita: $$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} \right) &= \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{1+k} \right) \ &+ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2+k} \right) \ &+ \dots \ &+ \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{2k} \right) \ &+ \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{2k+1} \right) \ &+ \dots \ &+ \left( \frac{1}{N} - \frac{1}{N+k} \right) \end{aligned} $$ Nota que el término $-\frac{1}{n+k}$ se cancelará con el término positivo $\frac{1}{n'}$ donde $n' = n+k$. Específicamente, la parte de la resta empieza en $\frac{1}{1+k}$ y termina en $\frac{1}{N+k}$. La parte de la suma empieza en $\frac{1}{1}$ y termina en $\frac{1}{N}$.
Los términos $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{k}$ no tienen partes negativas correspondientes que los cancelen. Los términos $-\frac{1}{N+1}, -\frac{1}{N+2}, \dots, -\frac{1}{N+k}$ no tienen partes positivas correspondientes que los cancelen. Todos los términos intermedios se cancelan.
Por lo tanto, la suma se simplifica a: $$ S_N = \frac{1}{k} \left[ \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{k} \right) - \left( \frac{1}{N+1} + \frac{1}{N+2} + \dots + \frac{1}{N+k} \right) \right] $$
$\square$