Conversión Rectangular-Polar

Teoría

Puedes representar los números complejos de dos formas principales: la forma rectangular ($z = a + bi$) y la forma polar ($z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$). Aunque la forma rectangular es intuitiva para sumar y restar, ya que tratas a los números complejos como vectores con componentes horizontales y verticales, se vuelve muy pesada para operaciones que involucran multiplicación, división, potencias y raíces. La forma polar te da una alternativa muy potente al representar un número complejo por su distancia al origen (módulo $r$) y su ángulo respecto al eje real positivo (argumento $\theta$). Esta perspectiva geométrica encaja perfecto con la naturaleza de la multiplicación compleja, que puedes visualizar como una rotación y una dilatación en el plano complejo.

Pasar de una forma a otra es una habilidad fundamental en las matemáticas de competencia, sobre todo para el AMC 12 y el AIME. Convertir a la forma polar suele ser el primer paso crítico para resolver problemas que tienen potencias altas de números complejos (usando el Teorema de De Moivre) o para encontrar raíces de la unidad. Por otro lado, regresar a la forma rectangular es necesario cuando la respuesta final pide una expresión algebraica estándar o cuando quieres combinar resultados de rotaciones con traslaciones lineales. Dominar esta conversión te permite cambiar con fluidez entre la manipulación algebraica y la interpretación geométrica.

Fórmulas Clave

Sea $z$ un número complejo.

1. De Rectangular a Polar Si tienes $z = a + bi$, las coordenadas polares $r$ y $\theta$ las obtienes así: $$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$ $$\theta = \arg(z)$$ donde $\theta$ cumple que: $$\tan \theta = \frac{b}{a} \quad (a \neq 0)$$ Nota: Al calcular $\theta$, tienes que fijarte en qué cuadrante está el punto $(a,b)$. Normalmente definimos el argumento principal como $-\pi < \theta \le \pi$.

2. De Polar a Rectangular Si tienes $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, las componentes rectangulares $a$ y $b$ son: $$a = r \cos \theta$$ $$b = r \sin \theta$$

3. Notaciones Compactas A menudo vas a ver la forma polar abreviada usando la notación "cis" o la fórmula de Euler: $$z = r \operatorname{cis} \theta = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$ $$z = r e^{i\theta}$$

Demostración

Teorema: Para cualquier número complejo $z = a + bi$, si $r = \sqrt{a^2+b^2}$ y $\theta$ es el ángulo que forma el vector que representa a $z$ con el eje real positivo, entonces $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.

Demostración: Imagina el número complejo $z = a + bi$ como un punto $P(a, b)$ en el plano complejo (diagrama de Argand).

1. Construcción Geométrica: Toma $O$ como el origen $(0,0)$. Traza un triángulo rectángulo bajando una perpendicular desde el punto $P$ hasta el eje real (el eje $x$). Llama al pie de esta perpendicular $X(a, 0)$. El triángulo $\triangle OXP$ tiene:

   • Longitud del cateto adyacente (sobre el eje real) $= a$.
   • Longitud del cateto opuesto (altura vertical) $= b$.
   • Longitud de la hipotenusa $= OP$.

2. Define el Módulo ($r$): Por el teorema de Pitágoras aplicado al $\triangle OXP$: $$OP^2 = a^2 + b^2$$ Define $r$ como la distancia del origen a $P$ (el módulo $|z|$). Entonces: $$r = \sqrt{a^2 + b^2}$$

3. Define el Argumento ($\theta$): Sea $\theta$ el ángulo $\angle XOP$ medido en sentido antihorario desde el eje real positivo. Usando las definiciones trigonométricas estándar del triángulo rectángulo: $$\cos \theta = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{a}{r}$$ $$\sin \theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{b}{r}$$

4. Sustitución: Despeja $a$ y $b$ de las ecuaciones trigonométricas: $$a = r \cos \theta$$ $$b = r \sin \theta$$

   Sustituye estas expresiones en la forma rectangular original $z = a + bi$: $$z = (r \cos \theta) + i(r \sin \theta)$$

   Factoriza el término común $r$: $$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$$

Esto confirma la equivalencia entre las coordenadas rectangulares $(a,b)$ y los parámetros polares $(r, \theta)$. $\square$