Usar el plano complejo como una herramienta poderosa para resolver problemas geométricos.
Usar números complejos en la geometría, que a veces le decimos el método de coordenadas complejas, se trata de representar puntos del plano euclidiano como números complejos. Si asocias el punto $(x, y)$ con el número complejo $z = x + iy$, puedes traducir transformaciones y restricciones geométricas en ecuaciones algebraicas. A diferencia de las coordenadas cartesianas, donde manejas las componentes $x$ y $y$ por separado, los números complejos te dejan manipular los puntos como una sola cosa. Este enfoque es muy potente porque la estructura algebraica de $\mathbb{C}$ guarda propiedades geométricas de forma natural: sumar vectores es una traslación, y multiplicar es una rotación con dilatación (una semejanza espiral).
Esta técnica es fundamental para las olimpiadas de matemáticas, sobre todo para problemas de circunferencias, polígonos regulares y semejanzas espirales. A veces es mucho mejor que la geometría sintética cuando el problema tiene configuraciones complicadas de círculos que se cortan o cuando aparecen ángulos específicos (como $60^\circ$ o $90^\circ$) que te dan la pista de usar raíces de la unidad o multiplicar por $i$. Una estrategia común, que le dicen el "método del círculo unitario", consiste en poner el circuncírculo de un triángulo como el círculo unitario en el plano complejo ($|z|=1$). Esto simplifica mucho el conjugado complejo, porque $\bar{z} = 1/z$ para