Teorema del Valor Intermedio

Teoría

El Teorema del Valor Intermedio (TVI) es una de esas herramientas que parecen muy obvias cuando las dibujas, pero que tienen un poder enorme en las olimpiadas de matemáticas. Básicamente, te dice que si tienes una función continua en un intervalo y conoces sus valores en los extremos, la función "pasa" por todos los valores que hay en medio. Imagina que estás subiendo una montaña: si empiezas a 100 metros de altura y terminas a 500 metros, en algún momento tuviste que estar exactamente a 300 metros, sin importar qué camino hayas tomado, siempre y cuando no hayas teletransportado (que es lo que significa, en esencia, ser una función continua).

En problemas de álgebra avanzada o ecuaciones funcionales, este teorema es tu mejor aliado para demostrar que una solución existe sin tener que encontrarla explícitamente. Es súper útil cuando trabajas con polinomios de grado impar o cuando te dan una función continua y necesitas probar que alcanza cierto valor. Muchas veces lo vas a usar en su forma más famosa, el Teorema de Bolzano, para demostrar que una función tiene una raíz (un cero) si cambia de signo en un intervalo. Si logras mostrar que $f(a)$ es negativo y $f(b)$ es positivo, el TVI te garantiza que hay un punto en medio donde la función cruza el eje $x$.

Fórmulas Clave

Sea $f$ una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$. Si $y_0$ es cualquier valor tal que $f(a) < y_0 < f(b)$ (o $f(b) < y_0 < f(a)$), entonces existe al menos un número $c$ en el intervalo abierto $(a, b)$ tal que: $$f(c) = y_0$$

Un caso especial fundamental es el Teorema de Bolzano: Si $f$ es continua en $[a, b]$ y los signos de la función en los extremos son opuestos, es decir: $$f(a) \cdot f(b) < 0$$ Entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que: $$f(c) = 0$$

Otra aplicación común en olimpiadas es para puntos fijos. Si una función continua cumple que $f: [a, b] \to [a, b]$, entonces existe un $c \in [a, b]$ tal que: $$f(c) = c$$ Esto lo obtienes aplicando el TVI a la función auxiliar $g(x) = f(x) - x$.

Demostración

Para demostrar este teorema, necesitas apoyarte en una propiedad fundamental de los números reales: el Axioma del Supremo (o la propiedad de completitud). Supón que tienes una función continua $f$ en $[a, b]$ y que $f(a) < y_0 < f(b)$. La idea es encontrar el punto más a la derecha donde la función todavía no alcanza el valor $y_0$.

1. Define el conjunto $S$ como todos los valores de $x$ en el intervalo $[a, b]$ tales que la función es menor que el valor objetivo: $S = {x \in [a, b] : f(x) < y_0}$.
2. Nota que este conjunto $S$ no está vacío porque $a$ pertenece a él ($f(a) < y_0$). Además, $S$ está acotado superiormente por $b$. Por el Axioma del Supremo, el conjunto $S$ debe tener un supremo, al que llamaremos $c = \sup(S)$.
3. Ahora, analiza el valor de $f(c)$ usando la continuidad. Si supones que $f(c) < y_0$, entonces por la definición de continuidad, existe un intervalo pequeño alrededor de $c$ donde todos los valores de $f(x)$ siguen siendo menores que $y_0$. Esto significaría que hay valores a la derecha de $c$ que pertenecen a $S$, lo cual contradice que $c$ sea el supremo (la cota superior más pequeña).
4. Si supones que $f(c) > y_0$, la continuidad te dice que existe un intervalo alrededor de $c$ donde todos los valores de $f(x)$ son mayores que $y_0$. Esto significaría que ningún valor en ese intervalo (incluyendo valores a la izquierda de $c$) puede estar en $S$. Entonces, podrías encontrar una cota superior más pequeña que $c$, lo cual vuelve a contradecir que $c$ sea el supremo.
5. Como $f(c)$ no puede ser menor que $y_0$ ni mayor que $y_0$, la única posibilidad lógica es que: $$f(c) = y_0$$ $\square$