Polinomios de Chebyshev

Teoría

Los polinomios de Chebyshev son una sucesión de polinomios ortogonales que sirven como un puente fundamental entre la trigonometría y el álgebra. Los polinomios de Chebyshev de primera clase, que los escribimos como $T_n(x)$, los definimos con la identidad $T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta)$. Esta definición te deja expresar $\cos(n\theta)$ como un polinomio en términos de $\cos \theta$. De la misma forma, los polinomios de Chebyshev de segunda clase, $U_n(x)$, los definimos con la relación $U_n(\cos \theta) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin \theta}$. Estos polinomios son únicos porque mapean el dominio $[-1, 1]$ a sí mismo (en el caso de $T_n$) y tienen coeficientes enteros.

En las olimpiadas de matemáticas, los polinomios de Chebyshev son herramientas indispensables para resolver problemas de relaciones de recurrencia, sumas trigonométricas y acotamiento de polinomios. Un dato clave es que $T_n(x)$ es el polinomio mónico (después de dividirlo entre su coeficiente principal $2^{n-1}$) que minimiza el valor absoluto máximo en el intervalo $[-1, 1]$. Esta propiedad "minimax" los hace cruciales para desigualdades que involucran magnitudes polinomiales. Además, como sus raíces son reales y están en $[-1, 1]$ en valores trigonométricos específicos (las raíces de la unidad proyectadas en el eje real), los vas a encontrar seguido en problemas que requieren interpolación de Lagrange o para probar que un polinomio es irreducible.

Fórmulas Clave

Definiciones Para $x \in [-1, 1]$, toma $x = \cos \theta$. $$T_n(x) = \cos(n \arccos x) \implies T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta)$$ $$U_n(x) = \frac{\sin((n+1) \arccos x)}{\sin(\arccos x)} \implies U_n(\cos \theta) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin \theta}$$

Relaciones de Recurrencia Tanto $T_n(x)$ como $U_n(x)$ cumplen la misma relación de recurrencia, solo cambian sus condiciones iniciales: $$P_{n+1}(x) = 2x P_n(x) - P_{n-1}(x)$$

• Para $T_n$: $T_0(x) = 1, \quad T_1(x) = x$
• Para $U_n$: $U_0(x) = 1, \quad U_1(x) = 2x$

Formas Explícitas y Coeficientes El coeficiente principal de $T_n(x)$ es $2^{n-1}$ para $n \ge 1$. $$T_n(x) = \frac{n}{2} \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!} (2x)^{n-2k}$$

Raíces y Extremos de $T_n(x)$ Las raíces de $T_n(x)$ son distintas y están en $(-1, 1)$: $$x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right) \quad \text{para } k=1, 2, \dots, n$$ Los extremos de $T_n(x)$ en $[-1, 1]$ son $\pm 1$, y ocurren en: $$x_k = \cos\left(\frac{k}{n}\pi\right) \quad \text{para } k=0, 1, \dots, n$$

Identidad Fundamental (Ecuación tipo Pell) $$T_n(x)^2 - (x^2-1)U_{n-1}(x)^2 = 1$$

Propiedad de Composición $$T_m(T_n(x)) = T_{mn}(x)$$

Demostración

Teorema: Para todo $n \ge 0$, existe un polinomio $T_n(x)$ de grado $n$ con coeficientes enteros tal que $T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta)$, y que cumple la recurrencia $T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)$.

Demostración: La idea es usar inducción sobre $n$ con identidades trigonométricas.

Toma $x = \cos \theta$.

Casos Base: Para $n=0$: $\cos(0\cdot\theta) = 1$. Así que $T_0(x) = 1$, que es un polinomio de grado 0. Para $n=1$: $\cos(1\cdot\theta) = \cos \theta = x$. Así que $T_1(x) = x$, que es un polinomio de grado 1.

Paso Inductivo: Supón que para todo $k \le n$, $T_k(x)$ existe, es un polinomio de grado $k$ y cumple la definición trigonométrica. Lo que hay que hacer es encontrar una expresión para $\cos((n+1)\theta)$.

Recuerda la identidad trigonométrica de suma a producto: $$\cos(A) + \cos(B) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$ Si tomas $A = (n+1)\theta$ y $B = (n-1)\theta$, tienes que: $$\frac{A+B}{2} = n\theta \quad \text{y} \quad \frac{A-B}{2} = \theta$$ Si sustituyes esto en la identidad: $$\cos((n+1)\theta) + \cos((n-1)\theta) = 2\cos(n\theta)\cos(\theta)$$ Si despejas el término $(n+1)$: $$\cos((n+1)\theta) = 2\cos(\theta)\cos(n\theta) - \cos((n-1)\theta)$$

Ahora sustituye las definiciones de los polinomios $x = \cos \theta$, $T_n(x) = \cos(n\theta)$ y $T_{n-1}(x) = \cos((n-1)\theta)$: $$T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x)$$

Como $T_n(x)$ tiene grado $n$ y $T_{n-1}(x)$ tiene grado $n-1$, el término $2x T_n(x)$ tiene grado $n+1$. Por lo tanto, $T_{n+1}(x)$ es un polinomio de grado $n+1$. Además, como $T_0$ y $T_1$ tienen coeficientes enteros y la recurrencia solo usa multiplicaciones y restas enteras, nota que todos los $T_n(x)$ tienen coeficientes enteros.

$\square$