Desigualdad de Jensen

Teoría

La desigualdad de Jensen es una herramienta súper potente que relaciona el valor de una función convexa (o cóncava) evaluada en un promedio con el promedio de los valores de la función. Generaliza y une muchísimas desigualdades clásicas, incluyendo la AM-GM como un caso especial.

Dices que una función $f$ es convexa en un intervalo si el segmento de recta que une cualquier par de puntos de su gráfica queda por encima (o justo encima) de la gráfica. Geométricamente, esto significa que la función "se curva hacia arriba". Algunas funciones convexas comunes son $x^2$, $e^x$ y $|x|$.

Una función es cóncava si $-f$ es convexa (se curva hacia abajo). Por ejemplo: $\ln x$, $\sqrt{x}$, $\sin x$ en $[0, \pi]$.

La desigualdad de Jensen te dice que:

• Para una $f$ convexa: la función evaluada en el promedio $\leq$ el promedio de la función evaluada en los puntos.
• Para una $f$ cóncava: la función evaluada en el promedio $\geq$ el promedio de la función evaluada en los puntos.

Fórmulas Clave

Desigualdad de Jensen (Convexa):

Si $f$ es convexa en el intervalo $I$ y tienes $x_1, \ldots, x_n \in I$: $$f\left(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}$$

La igualdad se cumple si y solo si $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$.

Desigualdad de Jensen (Cóncava):

Si $f$ es cóncava en el intervalo $I$: $$f\left(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\right) \geq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}$$

Jensen con Pesos:

Si tienes pesos $w_i > 0$ que suman $\sum w_i = 1$ y una $f$ convexa: $$f\left(\sum_{i=1}^n w_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)$$

Condición de Convexidad:

$f$ es convexa si y solo si $f''(x) \geq 0$ para toda $x$ (siempre que $f$ sea dos veces diferenciable).

Funciones Convexas/Cóncavas Comunes:

| Convexa | Cóncava | |--------|---------| | $x^2$, $x^p$ ($p \geq 1$ o $p \leq 0$) | $\ln x$, $\sqrt{x}$ | | $e^x$ | $x^p$ ($0 < p < 1$) | | $|x|$ | $\sin x$ en $[0, \pi]$ | | $-\ln x$ | $-x^2$ |

Demostración

Demostración por Inducción:

Caso base ($n = 2$): Esta es justo la definición de convexidad: $$f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$$ $\checkmark$

Paso inductivo: Supón que Jensen se cumple para $n = 2^k$. Ahora hay que probarlo para $n = 2^{k+1}$.

Toma $x_1, \ldots, x_{2^{k+1}}$ y define: $$A = \frac{x_1 + \cdots + x_{2^k}}{2^k}, \quad B = \frac{x_{2^k+1} + \cdots + x_{2^{k+1}}}{2^k}$$

Por la hipótesis inductiva tienes que: $$f(A) \leq \frac{f(x_1) + \cdots + f(x_{2^k})}{2^k}$$ $$f(B) \leq \frac{f(x_{2^k+1}) + \cdots + f(x_{2^{k+1}})}{2^k}$$

Y por el caso $n = 2$: $$f\left(\frac{A + B}{2}\right) \leq \frac{f(A) + f(B)}{2}$$

Si juntas todo, te queda: $$f\left(\frac{x_1 + \cdots + x_{2^{k+1}}}{2^{k+1}}\right) = f\left(\frac{A + B}{2}\right) \leq \frac{f(A) + f(B)}{2} \leq \frac{\sum_{i=1}^{2^{k+1}} f(x_i)}{2^{k+1}}$$ $\checkmark$

Extensión para cualquier $n$: Si $n$ no es una potencia de 2, toma $m = \lceil \log_2 n \rceil$ y $N = 2^m > n$.

Si tomas $\bar{x} = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}$, puedes rellenar lo que falta con $N - n$ copias de $\bar{x}$: $$f(\bar{x}) = f\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n + (N-n)\bar{x}}{N}\right) \leq \frac{f(x_1) + \cdots + f(x_n) + (N-n)f(\bar{x})}{N}$$

Si despejas esto: $Nf(\bar{x}) \leq \sum f(x_i) + (N-n)f(\bar{x})$, así que llegas a $nf(\bar{x}) \leq \sum f(x_i)$. $\square$