Polinomios simétricos elementales.
Las fórmulas de Vieta establecen una relación fundamental entre los coeficientes de un polinomio y las sumas y productos de sus raíces. Aunque la mayoría de los estudiantes se topan con estas fórmulas por primera vez en el contexto de ecuaciones cuadráticas y cúbicas, el teorema se generaliza para polinomios de cualquier grado $n$. Específicamente, las fórmulas expresan los polinomios simétricos elementales de las raíces (como la suma de las raíces, la suma de los productos de las raíces tomadas de dos en dos, etc.) directamente en términos de los coeficientes del polinomio.
Esta herramienta es súper común en las matemáticas de competencia porque te permite manipular expresiones que involucran raíces sin tener que calcular las raíces mismas. Esto es muy importante para polinomios de grado 4 o mayor, donde encontrar las raíces suele ser muy difícil o hasta imposible algebraicamente. Las fórmulas de Vieta se usan seguido junto con las Sumas de Newton para evaluar sumas de potencias de las raíces, o para reconstruir un polinomio si conoces ciertas propiedades simétricas de sus ceros.
La intuición detrás de las fórmulas de Vieta viene del Teorema Fundamental del Álgebra. Cualquier polinomio $P(x)$ de grado $n$ lo puedes factorizar en $n$ términos lineales sobre los números complejos. Si expandes esta forma factorizada y agrupas los términos por potencias de $x$, verás que los coeficientes son simplemente combinaciones de las raíces. Los signos que se van alternando en las fórmulas aparecen al expandir términos como $(x-r_1)(x-r_2)\dots$, donde cada raíz $r_i$ tiene un signo negativo dentro del factor.
Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n$ con coeficientes complejos: $$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$$ donde $a_n \neq 0$. Sean $r_1, r_2, \dots, r_n$ las raíces de $P(x)$ (no necesariamente distintas).
Las fórmulas de Vieta dicen que la suma de los productos de las raíces tomadas de $k$ en $k$ es igual a $(-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$.
Las Fórmulas:
Suma de las raíces ($k=1$): $$ \sum_{1 \le i \le n} r_i = r_1 + r_2 + \dots + r_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} $$
Suma de los productos de dos en dos ($k=2$): $$ \sum_{1 \le i < j \le n} r_i r_j = r_1 r_2 + r_1 r_3 + \dots + r_{n-1} r_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} $$
Suma de los productos tomados de $k$ en $k$: $$ \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n} r_{i_1} r_{i_2} \dots r_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} $$
Producto de todas las raíces ($k=n$): $$ r_1 r_2 \dots r_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n} $$
Caso Especial (Polinomio Mónico): Si el polinomio es mónico (o sea, $a_n = 1$), las fórmulas se simplifican de modo que la $k$-ésima suma simétrica elemental de las raíces es simplemente $(-1)^k a_{n-k}$.
Para demostrar las fórmulas de Vieta, compara los coeficientes de la forma estándar del polinomio con su forma factorizada.
Paso 1: Forma factorizada Por el Teorema Fundamental del Álgebra, un polinomio $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$ con raíces $r_1, r_2, \dots, r_n$ lo puedes escribir como: $$ P(x) = a_n(x - r_1)(x - r_2)\dots(x - r_n) $$
Paso 2: Lógica de la expansión Considera la expansión del producto $\prod_{i=1}^n (x - r_i)$. Para formar un término que contenga $x^{n-k}$, tienes que elegir $x$ de exactamente $n-k$ de los factores y elegir el término constante $(-r_i)$ de los $k$ factores restantes.
Para una elección específica de $k$ índices ${i_1, i_2, \dots, i_k}$, el producto de los términos constantes es: $$ (-r_{i_1})(-r_{i_2})\dots(-r_{i_k}) = (-1)^k r_{i_1}r_{i_2}\dots r_{i_k} $$ Si sumas todas las combinaciones posibles de $k$ índices, el coeficiente de $x^{n-k}$ en la expansión de $\prod_{i=1}^n (x - r_i)$ es: $$ (-1)^k \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} r_{i_1} \dots r_{i_k} $$ Si llamas $e_k$ a la $k$-ésima suma simétrica elemental de las raíces, entonces el coeficiente de $x^{n-k}$ es $(-1)^k e_k$.
Paso 3: Comparar coeficientes Al multiplicar la expansión por el coeficiente principal $a_n$, el término asociado con $x^{n-k}$ en la forma factorizada es: $$ a_n \cdot (-1)^k e_k \cdot x^{n-k} $$ En la forma estándar del polinomio, el término asociado con $x^{n-k}$ es simplemente $a_{n-k} x^{n-k}$.
Igualando los coeficientes de $x^{n-k}$ de ambas formas: $$ a_{n-k} = a_n (-1)^k e_k $$
Paso 4: Despejar la suma simétrica Reacomoda la ecuación para despejar $e_k$: $$ e_k = \frac{a_{n-k}}{a_n (-1)^k} $$ Como $\frac{1}{(-1)^k} = (-1)^k$, llegas a la fórmula general: $$ \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} r_{i_1} \dots r_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} $$ $\square$