Hallar las n soluciones de la ecuación z^n = w.
La idea para encontrar las raíces $n$-ésimas de un número complejo es resolver la ecuación $z^n = w$ para $z$, donde $w$ es un número complejo distinto de cero y $n$ es un entero positivo. Gracias al Teorema Fundamental del Álgebra, sabes que esta ecuación tiene exactamente $n$ soluciones complejas distintas. Aunque en los números reales encontrar raíces a veces es un problema (por ejemplo, la raíz cuadrada de un número negativo no está definida), el plano complejo te permite tener un conjunto completo de soluciones. Para esta técnica vas a usar mucho la forma polar de los números complejos y el Teorema de De Moivre, que es el que conecta las potencias complejas con la trigonometría.
La intuición geométrica de las raíces $n$-ésimas es súper útil para los problemas de olimpiada. Si dibujas el número complejo $w$ en el plano, las $n$ raíces de $z^n = w$ son los vértices de un $n$-ágono regular centrado en el origen. Todas las raíces tienen el mismo módulo (su distancia al origen), que es la raíz $n$-ésima real del módulo de $w$. Sus argumentos (o sea, sus ángulos) están repartidos de forma pareja, separados por $\frac{2\pi}{n}$ radianes. Esta simetría geométrica te va a servir muchísimo en problemas de geometría con polígonos regulares y para simplificar sumas que tengan coeficientes complejos.