Expresiones para sen(nθ) y cos(nθ).
Las fórmulas de ángulos múltiples expresan funciones trigonométricas de la forma $\sin(n\theta)$ y $\cos(n\theta)$ como polinomios en términos de $\sin(\theta)$ y $\cos(\theta)$. Aunque sueles memorizar las identidades de ángulo doble ($n=2$) y ángulo triple ($n=3$), el caso general para un entero $n$ lo obtienes de forma más elegante usando números complejos. Específicamente, esta técnica aprovecha el Teorema de De Moivre para transformar un problema geométrico en una expansión binomial algebraica.
Este concepto es fundamental en las matemáticas de competencia, sobre todo en el AMC 12 y el AIME, porque establece un puente entre la trigonometría y el álgebra de polinomios. Al expresar $\cos(n\theta)$ como un polinomio en $\cos(\theta)$, generas los Polinomios de Chebyshev de primera clase. Esto te permite resolver ecuaciones polinomiales de alto grado sustituyendo $x = \cos(\theta)$, lo que transforma raíces algebraicas en ángulos trigonométricos.
La idea clave que te da el enfoque de números complejos es que $\cos(n\theta)$ y $\sin(n\theta)$ son simplemente las partes real e imaginaria de $(\cos \theta + i \sin \theta)^n$. Esto elimina la necesidad de aplicar recursivamente las fórmulas de suma de ángulos y te da una sumatoria directa y cerrada para cualquier entero $n$.