Fórmulas generales para polinomios de cualquier grado usando funciones simétricas elementales.
Las fórmulas de Vieta establecen una relación fundamental entre los coeficientes de un polinomio y las sumas y productos de sus raíces. Aunque la mayoría de los estudiantes se topan con estas fórmulas al estudiar ecuaciones cuadráticas y cúbicas, el teorema general aplica para polinomios de cualquier grado $n$. Específicamente, las fórmulas expresan los polinomios simétricos elementales de las raíces usando los coeficientes del polinomio. Esto te permite manipular expresiones que involucran raíces —como sumas de cuadrados o recíprocos— sin que tengas que resolver las raíces explícitamente, lo que normalmente es difícil o imposible para polinomios de mayor grado.
No te imaginas lo útiles que son las fórmulas de Vieta en las olimpiadas de matemáticas. Son la herramienta principal para resolver problemas que involucran funciones simétricas de las raíces. La idea clave está en expandir la forma factorizada de un polinomio. Cuando escribes un polinomio mónico como un producto de factores lineales $(x-r_1)(x-r_2)\dots(x-r_n)$, el coeficiente de $x^{n-k}$ lo determina la suma de todos los productos posibles de $k$ raíces, ajustado por un factor de signo $(-1)^k$. Esta expansión combinatoria une la estructura algebraica de la ecuación (coeficientes) con sus propiedades geométricas o analíticas (raíces).
Toma un polinomio $P(x)$ de grado $n$ con coeficientes complejos (donde $a_n \neq 0$): $$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$ Según el Teorema Fundamental del Álgebra, $P(x)$ tiene exactamente $n$ raíces complejas (contando multiplicidad), que vamos a llamar $r_1, r_2, \dots, r_n$.
Las fórmulas de Vieta dicen que: $$ \begin{aligned} \sum_{1 \le i \le n} r_i &= r_1 + r_2 + \dots + r_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \ \sum_{1 \le i < j \le n} r_i r_j &= (r_1 r_2 + r_1 r_3 + \dots) = \frac{a_{n-2}}{a_n} \ \sum_{1 \le i < j < k \le n} r_i r_j r_k &= (r_1 r_2 r_3 + \dots) = -\frac{a_{n-3}}{a_n} \ &\vdots \ \prod_{i=1}^n r_i &= r_1 r_2 \dots r_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n} \end{aligned} $$
La Fórmula General: Para cualquier entero $k$ tal que $1 \le k \le n$, la suma de los productos de las raíces tomadas de $k$ en $k$ es: $$ \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n} r_{i_1} r_{i_2} \dots r_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} $$
Para demostrar las fórmulas de Vieta, solo tienes que comparar los coeficientes del polinomio en su forma estándar y en su forma factorizada.
Paso 1: Representación en forma factorizada Toma $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$. Como $r_1, r_2, \dots, r_n$ son las raíces de $P(x)$, puedes factorizar el coeficiente principal $a_n$ y escribir el polinomio como: $$ P(x) = a_n(x - r_1)(x - r_2)\dots(x - r_n) $$
Paso 2: Expansión del producto Considera el producto mónico $\prod_{i=1}^n (x - r_i)$. Para expandirlo, forma términos eligiendo ya sea $x$ o $-r_i$ de cada uno de los $n$ factores $(x - r_i)$ y multiplicándolos. Para obtener un término con $x^{n-k}$, tienes que elegir $x$ de exactamente $n-k$ paréntesis y elegir un término constante $-r_i$ de los $k$ paréntesis restantes.
El producto de estos $k$ términos constantes es $(-r_{i_1})(-r_{i_2})\dots(-r_{i_k}) = (-1)^k r_{i_1}r_{i_2}\dots r_{i_k}$. Al sumar todas las formas posibles de elegir $k$ raíces, el coeficiente de $x^{n-k}$ en la expansión de $\prod_{i=1}^n (x - r_i)$ es: $$ (-1)^k \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} r_{i_1} \dots r_{i_k} $$
Paso 3: Comparación de coeficientes Sustituye esta expansión de nuevo en la expresión de $P(x)$: $$ P(x) = a_n \left[ x^n + \sum_{k=1}^n \left( (-1)^k x^{n-k} \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} r_{i_1} \dots r_{i_k} \right) \right] $$ Distribuye $a_n$: $$ P(x) = a_n x^n + \sum_{k=1}^n \left( a_n (-1)^k \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} r_{i_1} \dots r_{i_k} \right) x^{n-k} $$
Iguala el coeficiente de $x^{n-k}$ en esta expresión con el coeficiente $a_{n-k}$ de la definición original en forma estándar de $P(x)$: $$ a_{n-k} = a_n (-1)^k \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} r_{i_1} \dots r_{i_k} $$
Paso 4: Aislamiento Divide ambos lados entre $a_n (-1)^k$ (nota que $1/(-1)^k = (-1)^k$) y obtienes la fórmula general de Vieta: $$ \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} r_{i_1} \dots r_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} $$ $\square$