Usar (r cis θ)^n = r^n cis(nθ) para calcular potencias.
Calcular potencias de números complejos en su forma rectangular, $(a+bi)^n$, se vuelve muy pesado conforme el exponente $n$ aumenta. La expansión binomial da como resultado una mezcla de términos reales e imaginarios que son difíciles de simplificar sin cometer errores. La técnica más poderosa para manejar estas operaciones es convertir el número complejo a su forma polar. Al representar un número complejo con una magnitud $r$ y un ángulo $\theta$, aprovechas la intuición geométrica de la multiplicación compleja: multiplicar números complejos equivale a multiplicar sus magnitudes y sumar sus argumentos (ángulos).
Este concepto se formaliza con el Teorema de De Moivre, que da una fórmula directa para elevar números complejos a potencias enteras. En lugar de expandir polinomios, simplemente elevas el módulo a la potencia $n$ y multiplicas el argumento por $n$. Este teorema une el álgebra con la trigonometría, permitiéndote resolver problemas con potencias altas (por ejemplo, $(1+i)^{10}$) o derivar identidades trigonométricas para $\cos(n\theta)$ y $\sin(n\theta)$ de manera eficiente.
En el contexto de competencias como el AMC 12 y el AIME, esta técnica es esencial para simplificar expresiones que de otro modo serían imposibles de manejar. También es el paso fundamental para encontrar raíces $n$-ésimas de números complejos y trabajar con raíces de la unidad. Dominar esto te permite moverte con fluidez entre la manipulación algebraica y la rotación geométrica en el plano complejo.
Definición de la Forma Polar Para un número complejo $z = a + bi$, toma $r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}$ y $\theta = \arg(z)$. Lo definimos como: $$z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = r \operatorname{cis} \theta$$ donde $\operatorname{cis} \theta$ es una forma corta de escribir $\cos \theta + i \sin \theta$.
Teorema de De Moivre Para cualquier entero $n$ y cualquier número real $\theta$: $$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$$ o en notación compacta: $$(\operatorname{cis} \theta)^n = \operatorname{cis}(n\theta)$$
Fórmula General de Potencias Combinando el módulo y el Teorema de De Moivre, para cualquier número complejo $z = r \operatorname{cis} \theta$ y entero $n$: $$z^n = (r \operatorname{cis} \theta)^n = r^n \operatorname{cis}(n\theta) = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$$
Potencias Negativas El teorema también funciona para enteros negativos, lo cual corresponde a la división o a encontrar el recíproco: $$z^{-n} = r^{-n} \operatorname{cis}(-n\theta) = \frac{1}{r^n} (\cos(n\theta) - i \sin(n\theta))$$
Aquí tienes una demostración del Teorema de De Moivre para enteros no negativos $n$ usando Inducción Matemática.
Teorema: Para todo entero $n \ge 1$, $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$.
Demostración:
Paso 1: Caso Base Toma $n=1$. $$(\cos \theta + i \sin \theta)^1 = \cos(1\cdot\theta) + i \sin(1\cdot\theta)$$ La ecuación se cumple de forma trivial.
Paso 2: Hipótesis de Inducción Supón que la afirmación es cierta para algún entero positivo $k$. Es decir: $$(\cos \theta + i \sin \theta)^k = \cos(k\theta) + i \sin(k\theta)$$
Paso 3: Paso Inductivo Hay que mostrar que la afirmación se cumple para $n = k+1$. $$(\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1} = (\cos \theta + i \sin \theta)^k \cdot (\cos \theta + i \sin \theta)$$
Sustituye la Hipótesis de Inducción en la ecuación: $$= (\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)) \cdot (\cos \theta + i \sin \theta)$$
Expande el producto usando la multiplicación compleja estándar: $$= \cos(k\theta)\cos \theta + i \cos(k\theta)\sin \theta + i \sin(k\theta)\cos \theta + i^2 \sin(k\theta)\sin \theta$$
Recuerda que $i^2 = -1$. Agrupa las partes reales y las partes imaginarias: $$= [\cos(k\theta)\cos \theta - \sin(k\theta)\sin \theta] + i [\sin(k\theta)\cos \theta + \cos(k\theta)\sin \theta]$$
Aplica las identidades trigonométricas de suma de ángulos:
Al sustituir estas identidades con $A=k\theta$ y $B=\theta$: $$= \cos(k\theta + \theta) + i \sin(k\theta + \theta)$$ $$= \cos((k+1)\theta) + i \sin((k+1)\theta)$$
Así, la fórmula se cumple para $n=k+1$. Por el Principio de Inducción Matemática, el Teorema de De Moivre es cierto para todos los enteros positivos $n$.
(Nota: La extensión a la fórmula general $z^n = r^n \operatorname{cis}(n\theta)$ la obtienes de inmediato por las propiedades de los exponentes en los números reales, ya que $(r \operatorname{cis} \theta)^n = r^n (\operatorname{cis} \theta)^n$). $\square$