Media aritmética ≥ media geométrica para n términos.
La Desigualdad de las Medias Aritmética y Geométrica (AM-GM) es un resultado fundamental en álgebra que dice que, para cualquier conjunto de números reales no negativos, la media aritmética es mayor o igual que la media geométrica. Específicamente, si tomas $n$ números no negativos, su suma dividida entre $n$ nunca será menor que la raíz $n$-ésima de su producto. Esta desigualdad establece una relación crítica entre sumas y productos, y te sirve como piedra angular para resolver problemas de optimización donde el cálculo no es necesario o de plano está prohibido, como en las competencias AMC y AIME.
En el contexto de resolución de problemas, vas a usar AM-GM muy seguido para encontrar el valor mínimo de una suma cuando tienes un producto fijo, o el valor máximo de un producto cuando tienes una suma fija. Una idea clave sobre esta desigualdad es el principio de "suavizado": si tienes una suma fija, el producto de un conjunto de variables alcanza su máximo cuando las variables están lo más cerca posible entre sí. Por el contrario, si tienes un producto fijo, la suma alcanza su mínimo cuando las variables son iguales.
Algo crucial es que la igualdad ocurre si y solo si todas las variables son iguales. Reconocer cuándo se puede dar esta condición de igualdad suele ser la clave para resolver problemas difíciles de valores frontera. Si las variables no pueden ser iguales debido a otras restricciones, entonces vas a tener una desigualdad estricta. Aunque puedes demostrar el caso de dos variables