Al dividir P(x) entre (x - a), el residuo es simplemente P(a).
El Teorema del Residuo es un resultado fundamental en el álgebra de polinomios que conecta directamente la división de polinomios con la evaluación de funciones. Dice que cuando divides un polinomio $P(x)$ entre un binomio lineal de la forma $(x - a)$, el residuo de esta división es exactamente igual al valor del polinomio en $x = a$, que escribimos como $P(a)$. Este teorema te permite encontrar el residuo sin tener que hacer la tediosa división larga de polinomios o la división sintética.
En el contexto de competencias de matemáticas como el AMC 10 y el AMC 12, vas a usar mucho el Teorema del Residuo para analizar la estructura de los polinomios. Lo usas seguido para encontrar coeficientes desconocidos dentro de un polinomio, para calcular residuos cuando el divisor es de un grado mayor (como una cuadrática) y para checar la divisibilidad. Es la base teórica para el Teorema del Factor, que dice que $(x-a)$ es un factor de $P(x)$ si y solo si $P(a) = 0$.
La idea detrás del teorema viene del Algoritmo de la División de Polinomios, que expresa un polinomio en términos de un divisor, un cociente y un residuo. Cuando el divisor es $(x-a)$, el residuo tiene que ser una constante porque su grado debe ser estrictamente menor que el grado del divisor (que es 1). Si sustituyes $x=a$