Para ax² + bx + c = 0: la suma de raíces es -b/a y el producto es c/a.
Las fórmulas de Vieta te dan una relación súper importante entre los coeficientes de un polinomio y la suma y el producto de sus raíces. En el caso específico de una ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$, estas fórmulas te permiten determinar cuánto suman y cuánto multiplican las raíces directamente desde los coeficientes $a$, $b$ y $c$, sin que tengas que calcular las raíces una por una usando la fórmula general.
Esta técnica te la vas a encontrar por todos lados en las matemáticas de competencia porque sirve como un puente entre la estructura algebraica de la ecuación (sus coeficientes) y las propiedades de sus soluciones (las raíces). Es especialmente útil cuando quieres evaluar expresiones simétricas de las raíces, como la suma de sus cuadrados ($x_1^2 + x_2^2$) o de sus recíprocos ($\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$), ya que puedes reescribirlas por completo usando solo la suma y el producto que te da Vieta.
La idea para entender de dónde vienen las fórmulas de Vieta es usar el Teorema del Factor. Si sabes que un número es raíz de un polinomio, puedes factorizar el polinomio usando esa raíz. Al escribir la cuadrática como un producto de factores lineales que corresponden a sus raíces y expandir todo, los coeficientes de la expresión resultante deben ser iguales a los del polinomio original. De esa comparación es de donde salen las fórmulas.
Para una ecuación cuadrática de la forma: $$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$ Si las raíces de la ecuación son $x_1$ y $x_2$, las relaciones fundamentales son:
$$ \begin{aligned} \text{Suma de las raíces: } & S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \ \text{Producto de las raíces: } & P = x_1 x_2 = \frac{c}{a} \end{aligned} $$
Identidades y Variaciones Importantes: Usando la suma ($S$) y el producto ($P$), puedes calcular otras expresiones simétricas:
Suma de Cuadrados: $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 2\left(\frac{c}{a}\right)$$
Suma de Recíprocos: $$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{c}$$
Diferencia de Raíces: $$|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|} = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$$
Caso Mónico: Si $a=1$, la ecuación es $x^2 + bx + c = 0$. Entonces $x_1+x_2 = -b$ y $x_1x_2 = c$.
Teorema: Sean $x_1$ y $x_2$ las raíces de la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$, donde $a \neq 0$. Entonces $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ y $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$.
Demostración: Por el Teorema Fundamental del Álgebra y el Teorema del Factor, si $x_1$ y $x_2$ son raíces del polinomio cuadrático $P(x) = ax^2 + bx + c$, entonces puedes factorizar $P(x)$ así: $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$
Fíjate que hay que incluir el coeficiente principal $a$ para asegurar que los términos con $x^2$ coincidan en ambos lados. Ahora, expande el lado derecho:
$$ \begin{aligned} a(x - x_1)(x - x_2) &= a\left(x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2\right) \ &= a\left(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2\right) \ &= ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a(x_1x_2) \end{aligned} $$
Ahora, nada más iguala los coeficientes de las potencias de $x$ de la ecuación original con los de la forma expandida:
Al comparar los coeficientes de $x$: $$b = -a(x_1 + x_2)$$ Si divides ambos lados entre $-a$ (recuerda que $a \neq 0$): $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$
Al comparar los términos constantes: $$c = a(x_1x_2)$$ Si divides ambos lados entre $a$: $$x_1 x_2 = \frac{c}{a}$$
¡Y listo! Así quedan demostradas las relaciones. $\square$