Desigualdad n-1 Variables Iguales

Teoría

Esta técnica es un "truco" avanzado que vas a usar cuando te enfrentes a desigualdades simétricas donde las herramientas clásicas, como la desigualdad de Jensen o AM-GM, no parecen ser suficientes. La idea central es que, en muchos problemas de olimpiada de alto nivel (como el USAMO o la IMO), el valor máximo o mínimo de una expresión no ocurre cuando todas las variables son iguales, sino en un "borde" del dominio. Específicamente, este extremo suele alcanzarse cuando $n-1$ variables tienen el mismo valor y la variable restante toma un valor distinto para cumplir con la restricción del problema.

Imagina que tienes una función que no es completamente convexa ni completamente cóncava en el intervalo en el que estás trabajando. Si intentas aplicar Jensen, la desigualdad no te va a dar el resultado óptimo porque la función "cambia de humor" (su curvatura) en algún punto. En estos casos, los valores de las variables tienden a agruparse en los extremos o en un punto crítico. La técnica de $n-1$ variables iguales te permite reducir un problema de $n$ variables a uno de solo dos variables ($a$ y $b$), lo que hace que el álgebra sea mucho más manejable y fácil de resolver con cálculo básico o sustituciones directas.

Fórmulas Clave

Para aplicar esta técnica, generalmente trabajas con una suma de funciones bajo una restricción lineal. El teorema principal (que muchas veces le atribuyen a Vasile Cîrtoaje) establece lo siguiente:

Si $f(x)$ es una función definida en un intervalo $I$ que tiene a lo mucho un punto de inflexión, entonces para cualquier $x_1, x_2, \dots, x_n \in I$ con una suma fija: $$\sum_{i=1}^n x_i = S$$

El valor máximo o mínimo de la suma: $$E = f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)$$

se alcanza cuando $n-1$ variables son iguales entre sí. Es decir, el caso crítico ocurre cuando: $$x_1 = x_2 = \dots = x_{n-1} = a \quad \text{y} \quad x_n = b$$

Donde los valores de $a$ y $b$ tienen que cumplir con la restricción: $$(n-1)a + b = S$$

En problemas donde las variables son no negativas ($x_i \geq 0$), es muy común que el valor de $b$ termine siendo $0$, dejando el caso de igualdad en $(a, a, \dots, a, 0)$.

Demostración

La forma más intuitiva de demostrar por qué pasa esto es analizando el comportamiento de la función $f$ respecto a su punto de inflexión. Aquí tienes los pasos lógicos:

1. Identifica el punto de inflexión: Supón que $f(x)$ es una función que es convexa en el intervalo $(-\infty, c]$ y cóncava en $[c, \infty)$. El punto $c$ es donde la curvatura cambia.
2. Analiza pares de variables: Toma dos variables cualesquiera, $x_i$ y $x_j$. Si ambas están en la región donde la función es convexa, puedes aplicar Jensen localmente. Sin embargo, si una está en la región convexa y otra en la cóncava, o si ambas están en la cóncava, el comportamiento de la suma $f(x_i) + f(x_j)$ cambia.
3. Usa el argumento de "limpieza": Si tienes dos variables $x_i, x_j$ que no son iguales, intenta moverlas (una aumenta y la otra disminuye manteniendo la suma constante) para ver si la suma total $E$ aumenta o disminuye.
   • Si $f$ es cóncava, la suma $f(x_i) + f(x_j)$ aumenta cuando las variables se acercan.
   • Si $f$ es convexa, la suma aumenta cuando las variables se alejan.
4. Llega al estado estable: Si tienes tres variables $x_1, x_2, x_3$, y notas que siempre puedes "empujar" dos de ellas para que se vuelvan iguales o para que una llegue al límite del intervalo sin reducir (o aumentar) el valor total, eventualmente te quedarás con un grupo de variables que ya no se pueden mover más.
5. Concluye la configuración: Debido a la simetría y a que solo hay un punto de inflexión, puedes "mejorar" cualquier configuración que no tenga $n-1$ variables iguales moviendo un par de variables hasta que choquen con un borde o se igualen a las demás. Por lo tanto, el extremo debe ocurrir cuando $x_1 = x_2 = \dots = x_{n-1} = a$ y $x_n = b$.

$\square$