Desigualdades Avanzadas

Teoría

Las desigualdades avanzadas marcan la transición de la manipulación algebraica ad-hoc a la aplicación de propiedades estructurales de funciones y sucesiones. Mientras que las desigualdades básicas como AM-GM y Cauchy-Schwarz dependen de identidades algebraicas específicas, las técnicas avanzadas como las desigualdades de Jensen, Hölder y Minkowski aprovechan los conceptos geométricos de convexidad y normas. Estas herramientas te permiten manejar potencias arbitrarias y sumas pesadas, dándote cotas para expresiones complejas que no puedes simplificar por medios elementales. En el contexto de las olimpiadas de matemáticas (USAMO, IMO), dominar estos teoremas es esencial para resolver problemas donde las variables están restringidas por sumas o productos específicos, o donde la función objetivo tiene exponentes que no son enteros.

Una segunda clase de desigualdades avanzadas —específicamente las de Schur y Muirhead— trata sobre el concepto de "mayorización" y simetría. Estas desigualdades te dan una forma rigurosa de comparar polinomios simétricos basándose en qué tan "dispersos" están los exponentes. La intuición aquí es que las sumas simétricas con exponentes más extremos tienden a ser más grandes que aquellas con exponentes promediados. Por ejemplo, la desigualdad de Muirhead formaliza la idea de que $x^4 + y^4 \ge x^3y + xy^3$ porque el conjunto de exponentes $(4,0)$ mayoriza a $(3,1)$. Entender cuándo aplicar argumentos de convexidad frente a argumentos de mayorización es una habilidad clave en las competencias matemáticas de alto nivel.

Fórmulas Clave

1. Desigualdad de Jensen Sea $f: I \to \mathbb{R}$ una función convexa en un intervalo $I$. Para cualesquiera $x_1, \dots, x_n \in I$ y pesos no negativos $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ tales que $\sum \lambda_i = 1$: $$ f\left( \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \right) \le \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) $$ Si $f$ es cóncava, la desigualdad se invierte. Un caso común es la versión sin pesos donde $\lambda_i = \frac{1}{n}$.

2. Desigualdad de Hölder Sean $x_1, \dots, x_n$ y $y_1, \dots, y_n$ números reales no negativos. Si $p, q > 1$ tales que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, entonces: $$ \sum_{i=1}^n x_i y_i \le \left( \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{\frac{1}{p}} \left( \sum_{i=1}^n y_i^q \right)^{\frac{1}{q}} $$ Cauchy-Schwarz es el caso especial donde $p=q=2$.

3. Desigualdad de Minkowski Para números reales $x_i, y_i$ y $p \ge 1$: $$ \left( \sum_{i=1}^n |x_i + y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} \le \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \sum_{i=1}^n |y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} $$ Esto establece la desigualdad del triángulo para la norma $L^p$.

4. Desigualdad de Schur Para números reales no negativos $x, y, z$ y cualquier $r > 0$: $$ x^r(x-y)(x-z) + y^r(y-z)(y-x) + z^r(z-x)(z-y) \ge 0 $$ El caso más común es $r=1$, que se expande a $x^3+y^3+z^3 + 3xyz \ge \sum_{sym} x^2y$.

5. Desigualdad de Muirhead Sea la sucesión $a = (a_1, \dots, a_n)$ mayorizante de la sucesión $b = (b_1, \dots, b_n)$, lo cual escribimos como $[a] \succ [b]$. Esto significa que $a_1 \ge \dots \ge a_n$, $b_1 \ge \dots \ge b_n$, $\sum_{i=1}^k a_i \ge \sum_{i=1}^k b_i$ para toda $k < n$, y $\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i$. Entonces, para reales positivos $x_1, \dots, x_n$: $$ \sum_{sym} x_1^{a_1} \dots x_n^{a_n} \ge \sum_{sym} x_1^{b_1} \dots x_n^{b_n} $$

Demostración

Demostración de la Desigualdad de Jensen

Vamos a demostrar la Desigualdad de Jensen para una función convexa $f$ usando inducción matemática sobre el número de variables $n$.

Definición: Una función $f$ es convexa en un intervalo $I$ si para todo $x, y \in I$ y $\lambda \in [0,1]$: $$ f(\lambda x + (1-\lambda)y) \le \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y) $$

Caso Base ($n=2$): El caso base se cumple directamente por la definición de convexidad que pusimos arriba. Toma pesos $\lambda_1, \lambda_2 \ge 0$ con $\lambda_1 + \lambda_2 = 1$. Entonces $\lambda_2 = 1 - \lambda_1$, y la desigualdad se cumple por definición.

Paso Inductivo: Supón que la desigualdad se cumple para algún entero $n \ge 2$. La idea es demostrarla para $n+1$. Toma $x_1, \dots, x_{n+1} \in I$ y pesos $\lambda_1, \dots, \lambda_{n+1}$ tales que $\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i = 1$.

Si $\lambda_{n+1} = 1$, entonces todos los demás $\lambda_i = 0$, y la desigualdad es trivial ($f(x_{n+1}) \le f(x_{n+1})$). Supón que $\lambda_{n+1} < 1$. Sea $S_n = \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1 - \lambda_{n+1}$. Nota que $S_n > 0$.

Puedes reescribir la suma pesada dentro de la función como: $$ \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i x_i = \lambda_{n+1}x_{n+1} + \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i = \lambda_{n+1}x_{n+1} + S_n \left( \sum_{i=1}^n \frac{\lambda_i}{S_n} x_i \right) $$

Sea $y = \sum_{i=1}^n \frac{\lambda_i}{S_n} x_i$. Nota que $\sum_{i=1}^n \frac{\lambda_i}{S_n} = \frac{S_n}{S_n} = 1$, así que $y$ es una combinación convexa válida de $x_1, \dots, x_n$. Como $I$ es un intervalo, $y \in I$.

Ahora, aplica la definición de convexidad (Caso Base) a la combinación lineal de $x_{n+1}$ y $y$ con pesos $\lambda_{n+1}$ y $S_n$ (donde $\lambda_{n+1} + S_n = 1$): $$ f\left( \lambda_{n+1}x_{n+1} + S_n y \right) \le \lambda_{n+1}f(x_{n+1}) + S_n f(y) $$

Luego, aplica la hipótesis inductiva a $f(y)$: $$ f(y) = f\left( \sum_{i=1}^n \frac{\lambda_i}{S_n} x_i \right) \le \sum_{i=1}^n \frac{\lambda_i}{S_n} f(x_i) $$

Sustituyendo esto de nuevo en la desigualdad anterior: $$ f\left( \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i x_i \right) \le \lambda_{n+1}f(x_{n+1}) + S_n \left( \sum_{i=1}^n \frac{\lambda_i}{S_n} f(x_i) \right) $$ $$ f\left( \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i x_i \right) \le \lambda_{n+1}f(x_{n+1}) + \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) = \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i f(x_i) $$

Por lo tanto, la desigualdad se cumple para $n+1$. Por el principio de inducción matemática, la Desigualdad de Jensen se cumple para toda $n \ge 2$. $\square$