f(x + y) = f(x)f(y), donde la solución suele ser f(x) = a^x.
La Ecuación Exponencial de Cauchy es una de las cuatro ecuaciones funcionales fundamentales de Cauchy y tiene la forma $f(x+y) = f(x)f(y)$. Describe una función que transforma sumas en productos, que es justo la propiedad característica de las funciones exponenciales. Esta ecuación aparece por todos lados en competencias de álgebra como el AIME y la USAMO porque sirve como base para ecuaciones funcionales más complejas. Cuando un problema involucra una función que mapea una progresión aritmética a una geométrica, o relaciona estructuras aditivas con multiplicativas, la Ecuación Exponencial de Cauchy suele ser el mecanismo que está detrás.
Para resolver esta ecuación, tienes que poner mucha atención al dominio y a las condiciones de regularidad (como continuidad, monotonía o acotación). Sin estas condiciones, existen soluciones "salvajes" que no son medibles y son muy patológicas. Sin embargo, en el contexto de las matemáticas de competencia, casi siempre puedes asumir que la función es continua o monótona. Bajo estas condiciones de regularidad, las únicas soluciones que no son cero son las funciones exponenciales de la forma $f(x) = a^x$ para alguna constante positiva $a$.
Un truco clave para resolver esta ecuación es reducirla a la Ecuación Aditiva de Cauchy ($g(x+y) = g(x) + g(y)$). Si logras establecer que $f(x)$ es estrictamente positiva, puedes sacar el log