Raíces repetidas y derivadas.
El concepto de multiplicidad de raíces refina el Teorema Fundamental del Álgebra al describir cuántas veces un número específico actúa como raíz de un polinomio. Mientras que el Teorema del Factor dice que $r$ es una raíz de un polinomio $P(x)$ si y solo si $(x-r)$ es un factor de $P(x)$, la multiplicidad mide qué tan "fuerte" es esa raíz. Específicamente, una raíz $r$ tiene multiplicidad $k$ si $(x-r)^k$ es un factor de $P(x)$, pero $(x-r)^{k+1}$ no lo es. Geométricamente, la multiplicidad de una raíz real dicta cómo se comporta la gráfica del polinomio cerca del eje $x$: una multiplicidad de 1 indica que la gráfica cruza el eje de forma lineal; una multiplicidad par indica que la gráfica es tangente al eje (lo toca sin cruzarlo); y una multiplicidad impar mayor a 1 indica que la gráfica cruza el eje pero se "aplana" en la intersección (un punto de inflexión).
En las matemáticas de competencia, sobre todo en niveles de AIME y Olimpiadas, la aplicación más poderosa de la multiplicidad de raíces conecta el álgebra con el cálculo a través de las derivadas. Si un polinomio $P(x)$ tiene una raíz $r$ con multiplicidad $k > 1$, entonces $r$ también es raíz de la derivada $P'(x)$. De forma más general, $r$ tiene que ser raíz de las primeras $k-1$ derivadas de $P(x)$. Esto te da un sistema de ecuaciones ($P(r)=0, P'(r)=0, \dots$) que te permite encontrar coeficientes desconocidos o determinar las raíces mismas sin tener que factorizar el polinomio explícitamente. Esta técnica es esencial para resolver problemas que involucran parábolas tangentes, raíces repetidas en polinomios de grado alto y restricciones de optimización dentro de estructuras algebraicas.
Definición de Multiplicidad Un escalar $r$ es una raíz de multiplicidad $k$ para el polinomio $P(x)$ si y solo si: $$P(x) = (x-r)^k Q(x)$$ donde $Q(x)$ es un polinomio tal que $Q(r) \neq 0$.
El Criterio de la Derivada Sea $P(x)$ un polinomio. El número $r$ es una raíz de multiplicidad $k$ (donde $k \ge 1$) si y solo si: $$P(r) = P'(r) = P''(r) = \dots = P^{(k-1)}(r) = 0$$ y $$P^{(k)}(r) \neq 0$$
Casos Especiales
Teorema: Si $r$ es una raíz de multiplicidad $k$ de un polinomio $P(x)$, entonces $P^{(j)}(r) = 0$ para todo $0 \le j \le k-1$, y $P^{(k)}(r) \neq 0$.
Demostración: Por la definición de multiplicidad de raíces, puedes escribir $P(x)$ como: $$P(x) = (x-r)^k Q(x)$$ donde $Q(x)$ es un polinomio y $Q(r) \neq 0$.
Para examinar las derivadas de $P(x)$, usa la Regla General de Leibniz (la regla del producto para derivadas de orden superior). La $n$-ésima derivada es: $$P^{(n)}(x) = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} \left[ \frac{d^i}{dx^i}(x-r)^k \right] Q^{(n-i)}(x)$$
Analiza el término $\frac{d^i}{dx^i}(x-r)^k$.
Caso 1: $0 \le n < k$ Para cualquier orden de derivada $n$ estrictamente menor que $k$, cada término en la expansión de Leibniz involucra una derivada de $(x-r)^k$ de orden $i \le n < k$. Por lo tanto, cada término en la suma contiene un factor de $(x-r)$ elevado al menos a la potencia $1$. $$P^{(n)}(x) = (x-r) \cdot [\text{algún polinomio}]$$ Al evaluar esto en $x=r$: $$P^{(n)}(r) = 0 \quad \text{para todo } 0 \le n \le k-1$$
Caso 2: $n = k$ Ahora mira la $k$-ésima derivada: $$P^{(k)}(x) = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} \left[ \frac{d^i}{dx^i}(x-r)^k \right] Q^{(k-i)}(x)$$ Cuando evalúas en $x=r$, cualquier término donde la derivada de $(x-r)^k$ todavía conserve un factor de $(x-r)$ se va a anular. Esto pasa para todo $i < k$. El único término que sobrevive es cuando $i=k$: $$P^{(k)}(r) = \binom{k}{k} \left[ \frac{d^k}{dx^k}(x-r)^k \right]_{x=r} Q^{(0)}(r)$$ $$P^{(k)}(r) = 1 \cdot k! \cdot Q(r)$$ Como $k! \neq 0$ y por definición $Q(r) \neq 0$, la conclusión es: $$P^{(k)}(r) \neq 0$$
Así, las primeras $k-1$ derivadas valen cero en $r$, pero la $k$-ésima derivada no. $\square$