Aritmética Compleja

Teoría

La aritmética compleja extiende las reglas del álgebra real al campo de los números complejos, $\mathbb{C}$, que definimos como números de la forma $z = a + bi$, donde $a, b \in \mathbb{R}$ e $i$ es la unidad imaginaria que cumple $i^2 = -1$. En el contexto de las olimpiadas de matemáticas, la aritmética compleja no se trata solo de hacer cálculos; sirve como un puente entre el álgebra y la geometría. La suma y la resta se comportan exactamente como las operaciones vectoriales en $\mathbb{R}^2$, mientras que la multiplicación combina el escalamiento (homotecia) y la rotación. Esta naturaleza dual permite encontrar soluciones elegantes a problemas que involucran transformaciones geométricas y raíces de polinomios.

La estructura algebraica de los números complejos depende mucho del concepto del conjugado. Para un número complejo $z = a + bi$, su conjugado es $\overline{z} = a - bi$. El conjugado es la reflexión de $z$ respecto al eje real. Es la herramienta fundamental que usas para simplificar expresiones complejas, sobre todo en la división, donde sirve para "racionalizar" el denominador (convirtiendo un divisor complejo en un número real).

Dominar la aritmética compleja requiere que seas ágil para cambiar entre la definición algebraica y las propiedades del módulo y el conjugado. Un truco clave para problemas de nivel AIME es la relación $z\overline{z} = |z|^2$, donde $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ es el módulo (o magnitud). Esta identidad te permite convertir distancias en productos algebraicos, transformando restricciones geométricas en ecuaciones algebraicas que puedes resolver.

Fórmulas Clave

Definiciones Básicas Sean $z = a + bi$ y $w = c + di$. $$ i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1 $$

Operaciones Aritméticas

• Suma: $z + w = (a+c) + (b+d)i$
• Resta: $z - w = (a-c) + (b-d)i$
• Multiplicación: $$ zw = (ac - bd) + (ad + bc)i $$
• División: Para dividir entre $w \neq 0$, multiplica el numerador y el denominador por $\overline{w}$: $$ \frac{z}{w} = \frac{z\overline{w}}{w\overline{w}} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2} $$

Propiedades del Conjugado

• $\overline{\overline{z}} = z$
• $\overline{z \pm w} = \overline{z} \pm \overline{w}$
• $\overline{zw} = \overline{z} \cdot \overline{w}$
• $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}$
• $z + \overline{z} = 2\text{Re}(z)$ y $z - \overline{z} = 2i\text{Im}(z)$
• $z \in \mathbb{R} \iff z = \overline{z}$
• $z$ es puramente imaginario $\iff z = -\overline{z}$

Identidades del Módulo

• $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
• Identidad Fundamental: $$ z\overline{z} = |z|^2 $$
• $|zw| = |z||w|$
• $\left| \frac{z}{w} \right| = \frac{|z|}{|w|}$
• $|z^n| = |z|^n$

Demostración

Teorema: La Propiedad Multiplicativa del Módulo Para cualquier par de números complejos $z$ y $w$, $|zw| = |z||w|$.

Demostración: Aquí usas la identidad fundamental que relaciona el módulo y el conjugado: $|u|^2 = u\overline{u}$ para cualquier $u \in \mathbb{C}$.

1. Considera el cuadrado del módulo del producto $zw$: $$ |zw|^2 = (zw)\overline{(zw)} $$

2. Aplica la propiedad distributiva del conjugado sobre la multiplicación ($\overline{ab} = \overline{a}\overline{b}$): $$ |zw|^2 = (zw)(\overline{z}\overline{w}) $$

3. La multiplicación compleja es conmutativa y asociativa. Reacomoda los términos para agrupar $z$ con $\overline{z}$ y $w$ con $\overline{w}$: $$ |zw|^2 = (z\overline{z})(w\overline{w}) $$

4. Aplica la identidad fundamental $|u|^2 = u\overline{u}$ a la inversa en los términos agrupados: $$ |zw|^2 = |z|^2 |w|^2 $$

5. Por las propiedades de los exponentes para números reales, $|z|^2 |w|^2 = (|z||w|)^2$: $$ |zw|^2 = (|z||w|)^2 $$

6. Como el módulo lo definimos como un número real no negativo ($|u| \ge 0$), puedes sacar la raíz cuadrada no negativa en ambos lados: $$ |zw| = |z||w| $$

$\square$