Criterio de Eisenstein

Teoría

El Criterio de Eisenstein es una condición suficiente muy poderosa que sirve para determinar si un polinomio con coeficientes enteros es irreducible sobre el campo de los números racionales $\mathbb{Q}$. Aunque saber si puedes factorizar un polinomio suele ser un problema difícil, este criterio te da una prueba aritmética directa basada en las propiedades de divisibilidad de los coeficientes por un número primo $p$ específico. Si un polinomio cumple con las condiciones específicas del criterio, tienes la garantía de que es irreducible sobre $\mathbb{Q}$. Por el Lema de Gauss, esto también implica que es irreducible sobre los enteros $\mathbb{Z}$.

Esta técnica es súper importante en las olimpiadas de matemáticas porque ofrece una prueba de irreducibilidad no constructiva; no necesitas intentar factorizar para demostrar que no existen factores. Lo aplicas con frecuencia a polinomios de grado alto donde otros métodos (como el Teorema de la Raíz Racional o la reducción modular) fallan o son muy pesados. Un detalle clave al aplicar el Criterio de Eisenstein es que depende del sistema de coordenadas; muchas veces, un polinomio $P(x)$ tal vez no cumpla el criterio directamente, pero una traslación lineal $P(x+c)$ sí podría. Esta técnica de "desplazamiento" es una estrategia estándar en el álgebra de olimpiadas, y la usas sobre todo para demostrar la irreducibilidad de los polinomios ciclotómicos.

Fórmulas Clave

Teorema (Criterio de Eisenstein) Sea $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ un polinomio con coeficientes enteros ($a_i \in \mathbb{Z}$). Si existe un número primo $p$ tal que el polinomio cumple estas tres condiciones:

1. $p \nmid a_n$ (El primo no divide al coeficiente principal)
2. $p \mid a_i$ para todo $0 \le i < n$ (El primo divide a todos los demás coeficientes)
3. $p^2 \nmid a_0$ (El cuadrado del primo no divide al término constante)

Entonces $P(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$.

Aplicación: Polinomios Ciclotómicos Para demostrar la irreducibilidad del $p$-ésimo polinomio ciclotómico $\Phi_p(x)$, aplica la sustitución $x \mapsto x+1$: $$ \Phi_p(x) = \frac{x^p - 1}{x - 1} = x^{p-1} + x^{p-2} + \dots + x + 1 $$ Al sustituir $x+1$ obtienes un polinomio al que puedes aplicarle el Criterio de Eisenstein con el primo $p$: $$ \Phi_p(x+1) = \frac{(x+1)^p - 1}{(x+1) - 1} = \sum_{k=1}^p \binom{p}{k} x^{k-1} = x^{p-1} + \binom{p}{p-1}x^{p-2} + \dots + \binom{p}{1} $$

Variación: Eisenstein Inverso Si aplicas el criterio al polinomio recíproco $P^*(x) = x^n P(1/x)$ (que básicamente es invertir el orden de los coeficientes), entonces $P(x)$ es irreducible. Esto checa si $p \nmid a_0$, $p \mid a_i$ para $i > 0$, y $p^2 \nmid a_n$.

Demostración

La demostración es por contradicción.

Sea $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$ un polinomio que cumple las condiciones para un primo $p$. Supón, para llegar a una contradicción, que $P(x)$ es reducible sobre $\mathbb{Q}$. Por el Lema de Gauss, si un polinomio con coeficientes enteros es reducible sobre $\mathbb{Q}$, también es reducible sobre $\mathbb{Z}$. Por lo tanto, existen polinomios no constantes $Q(x)$ y $R(x)$ en $\mathbb{Z}[x]$ tales que $P(x) = Q(x)R(x)$.

Escribe: $$ Q(x) = q_r x^r + \dots + q_0 $$ $$ R(x) = s_m x^m + \dots + s_0 $$ donde $r, m \ge 1$ y $r+m = n$.

Paso 1: Analiza el término constante. El término constante de $P(x)$ es el producto de los términos constantes de los factores: $a_0 = q_0 s_0$. Por el criterio, sabes que $p \mid a_0$ y $p^2 \nmid a_0$. Como $p$ es primo, tiene que dividir exactamente a uno de los dos, $q_0$ o $s_0$, pero no a ambos. Sin perder generalidad, asume que $p \mid q_0$ y $p \nmid s_0$.

Paso 2: Analiza el coeficiente principal. El coeficiente principal de $P(x)$ es $a_n = q_r s_m$. Por el criterio, $p \nmid a_n$. Esto implica que $p \nmid q_r$ y $p \nmid s_m$.

Paso 3: Identifica el coeficiente crítico en $Q(x)$. Como $p \mid q_0$ y $p \nmid q_r$, debe existir un índice $k$ más pequeño tal que $p \nmid q_k$. Así que $p \mid q_0, q_1, \dots, q_{k-1}$ y $p \nmid q_k$. Nota que $k \le r < n$.

Paso 4: Construye la contradicción. Considera el coeficiente $a_k$ en la expansión de $Q(x)R(x)$. Por la definición de la multiplicación de polinomios: $$ a_k = q_k s_0 + q_{k-1} s_1 + q_{k-2} s_2 + \dots + q_0 s_k $$ Revisa la divisibilidad de estos términos por $p$:

1. El criterio dice que $p \mid a_i$ para todo $i < n$. Como $k \le r < n$, tienes que $p \mid a_k$.
2. Por cómo elegiste $k$, los coeficientes $q_0, q_1, \dots, q_{k-1}$ son todos divisibles por $p$. Por consecuencia, cada término en la suma $q_{k-1} s_1 + \dots + q_0 s_k$ es divisible por $p$.
3. Puedes reescribir la ecuación de $a_k$ como: $$ q_k s_0 = a_k - (q_{k-1} s_1 + \dots + q_0 s_k) $$ Como $p$ divide a $a_k$ y $p$ divide a la suma en el paréntesis, $p$ tiene que dividir a la diferencia. Por lo tanto, $p \mid q_k s_0$.

Sin embargo, como $p$ es primo, $p \mid q_k s_0$ implica que $p \mid q_k$ o $p \mid s_0$.

• En el Paso 1 estableciste que $p \nmid s_0$.
• En el Paso 3 estableciste que $q_k$ es el primer coeficiente que no es divisible por $p$, así que $p \nmid q_k$.

Esto es una contradicción. Por lo tanto, la suposición de que $P(x)$ es reducible debe ser falsa. $P(x)$ es irreducible. $\square$