Cómo hallar el residuo ax + b.
El concepto de encontrar el residuo al dividir entre un divisor cuadrático es una extensión directa del Teorema del Residuo para polinomios. Mientras que el Teorema del Residuo estándar dice que el residuo cuando divides $P(x)$ entre $(x-c)$ es la constante $P(c)$, al dividir entre un polinomio cuadrático $D(x)$ de grado 2 obtienes un residuo $R(x)$ con un grado estrictamente menor a 2. Por lo tanto, el residuo toma la forma lineal $R(x) = ax + b$. Esta técnica es fundamental en concursos de álgebra como el AMC 10 y 12, ya que te permite determinar el comportamiento de polinomios de grado alto sin tener que hacer divisiones largas y tediosas.
El poder de este método está en el Algoritmo de la División para polinomios, que lo escribes como $P(x) = D(x)Q(x) + R(x)$. Cuando puedes factorizar $D(x)$ como $(x-r_1)(x-r_2)$, puedes sustituir las raíces $r_1$ y $r_2$ en la ecuación. Como $D(r_1) = D(r_2) = 0$, el término que tiene al cociente desconocido $Q(x)$ desaparece. Esto te deja un sistema de ecuaciones lineales que relaciona los valores del polinomio en puntos específicos con los coeficientes del residuo, $a$ y $b$.
Esta técnica es súper útil cuando $P(x)$ tiene un grado muy alto (por ejemplo, $x^{2023} + 1$) y necesitas encontrar su residuo módulo una cuadrática. También sirve para casos con raíces repetidas (donde $D(x) = (x-r)^2$) usando derivadas, conectando la geometría algebraica con el cálculo en la teoría de polinomios.
El Algoritmo de la División Para un polinomio $P(x)$ y un divisor cuadrático $D(x)$, existen polinomios únicos $Q(x)$ y $R(x)$ tales que: $$P(x) = D(x)Q(x) + R(x)$$ donde $\deg(R) < \deg(D) = 2$. Así que, por lo general, lo escribes como: $$P(x) = D(x)Q(x) + (ax + b)$$
Caso 1: Raíces Distintas Si $D(x) = (x-r_1)(x-r_2)$ con $r_1 \neq r_2$, encuentras los coeficientes $a$ y $b$ resolviendo el sistema: $$ \begin{cases} P(r_1) = a r_1 + b \ P(r_2) = a r_2 + b \end{cases} $$ Al despejar $a$ (la pendiente) obtienes: $$a = \frac{P(r_1) - P(r_2)}{r_1 - r_2}$$
Caso 2: Raíces Repetidas Si $D(x) = (x-r)^2$, usas la derivada $P'(x)$ para generar la segunda ecuación: $$ \begin{cases} P(r) = ar + b \ P'(r) = a \end{cases} $$
Teorema: Sea $P(x)$ un polinomio dividido por una cuadrática $D(x) = (x-r_1)(x-r_2)$. El residuo es un polinomio único $R(x) = ax+b$.
Demostración:
Paso 1: Establecer la forma del residuo Por el Algoritmo de la División de Euclides para polinomios, para cualquier polinomio $P(x)$ y cualquier polinomio $D(x)$ que no sea cero, existen polinomios únicos $Q(x)$ (cociente) y $R(x)$ (residuo) tales que: $$P(x) = D(x)Q(x) + R(x)$$ donde $R(x) = 0$ o $\deg(R) < \deg(D)$. Como $D(x)$ es una cuadrática, $\deg(D) = 2$. Por lo tanto, $\deg(R) \le 1$. Puedes expresar $R(x)$ en la forma lineal general: $$R(x) = ax + b$$
Paso 2: Plantear la ecuación Sustituyes la forma factorizada del divisor y el residuo lineal en el algoritmo de la división: $$P(x) = (x-r_1)(x-r_2)Q(x) + (ax + b)$$
Paso 3: Resolver para los coeficientes (Caso: Raíces Distintas) Supón que $r_1 \neq r_2$. Para eliminar el cociente desconocido $Q(x)$, evalúas $P(x)$ en las raíces del divisor.
Sustituye $x = r_1$: $$P(r_1) = (r_1-r_1)(r_1-r_2)Q(r_1) + (ar_1 + b)$$ $$P(r_1) = 0 \cdot Q(r_1) + ar_1 + b$$ $$P(r_1) = ar_1 + b \quad \text{(Ecuación 1)}$$
Sustituye $x = r_2$: $$P(r_2) = (r_2-r_1)(r_2-r_2)Q(r_2) + (ar_2 + b)$$ $$P(r_2) = 0 \cdot Q(r_2) + ar_2 + b$$ $$P(r_2) = ar_2 + b \quad \text{(Ecuación 2)}$$
Ahora tienes un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables ($a$ y $b$). Al restar la Ecuación 2 de la Ecuación 1: $$P(r_1) - P(r_2) = a(r_1 - r_2)$$ $$a = \frac{P(r_1) - P(r_2)}{r_1 - r_2}$$ Una vez que encuentras $a$, determinas $b$ sustituyendo $a$ de nuevo en la Ecuación 1: $b = P(r_1) - ar_1$.
Paso 4: Resolver para los coeficientes (Caso: Raíces Repetidas) Supón que $r_1 = r_2 = r$. El divisor es $(x-r)^2$. $$P(x) = (x-r)^2 Q(x) + (ax + b)$$ Al sustituir $x=r$ obtienes la primera ecuación: $$P(r) = ar + b$$ Para encontrar la segunda ecuación, derivas ambos lados con respecto a $x$: $$P'(x) = \frac{d}{dx}\left[ (x-r)^2 Q(x) \right] + \frac{d}{dx}(ax+b)$$ Usas la regla del producto en el primer término: $$P'(x) = 2(x-r)Q(x) + (x-r)^2 Q'(x) + a$$ Ahora, sustituye $x=r$ en la derivada: $$P'(r) = 2(0)Q(r) + (0)^2 Q'(r) + a$$ $$P'(r) = a$$ Así, $a$ queda determinado directamente por la derivada, y encuentras $b$ usando $P(r) = ar+b$.
En ambos casos, $a$ y $b$ quedan determinados de forma única, lo que demuestra la existencia y unicidad del residuo lineal. $\square$