Usar n(a1 + an)/2 o n(2a + (n-1)d)/2 para sumar.
Una serie aritmética es la suma de los términos de una sucesión aritmética, que es una sucesión donde cada término se diferencia del anterior por una cantidad constante llamada diferencia común. Aunque sumar unos cuantos términos a mano es pan comido, encontrar la suma de muchísimos términos requiere un enfoque sistemático. El truco fundamental para sumar una serie aritmética es que puedes emparejar los términos de forma simétrica. Si tomas el primer término y el último, su suma es igual a la suma del segundo y el penúltimo, y así sucesivamente.
Esta simetría implica que el valor promedio de los términos en una sucesión aritmética es simplemente el promedio del primer y el último término. Por lo tanto, la suma total es igual al número de términos multiplicado por este valor promedio. Este concepto se le atribuye famosamente a un joven Carl Friedrich Gauss, quien sumó rápidamente los enteros del 1 al 100 al darse cuenta de que $1+100 = 2+99 = 3+98$, y así por el estilo.
En las matemáticas de competencia, como el AMC 8 y el AMC 10, esta técnica aparece por todos lados. Se usa no solo para problemas de suma directa, sino también en problemas razonados que involucran crecimiento lineal, problemas de geometría con objetos apilados y problemas de teoría de números donde hay que sumar conjuntos específicos de enteros (como los múltiplos de un número). Dominar este tema te permite convertir procesos de suma larguísimos en fórmulas de multiplicación muy concisas.
Imagina una sucesión aritmética definida por el primer término $a_1$, la diferencia común $d$ y el número de términos $n$. Vamos a llamar $a_n$ al $n$-ésimo término y $S_n$ a la suma de los primeros $n$ términos.
1. Suma usando el primer y el último término Esta es la forma más intuitiva, y representa el número de términos multiplicado por la media aritmética de la sucesión: $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
2. Suma usando el primer término y la diferencia Si sustituyes la fórmula explícita para el $n$-ésimo término, $a_n = a_1 + (n-1)d$, en la fórmula de arriba, obtienes: $$S_n = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$$
3. Casos Especiales
Vamos a demostrar la fórmula $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ usando el método de "invertir y sumar", que es la deducción estándar y la que mejor explica lo que pasa.
Toma $S_n$ como la suma de los primeros $n$ términos de una sucesión aritmética con diferencia común $d$. Puedes escribir la suma en orden normal: $$S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + \dots + (a_n - d) + a_n$$
Luego, escribe la misma suma pero en orden inverso. Nota que al ir hacia atrás desde el último término, tienes que ir restando la diferencia común $d$: $$S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + \dots + (a_1 + d) + a_1$$
Ahora, suma estas dos ecuaciones verticalmente. Fíjate que en cada pareja vertical, los términos $+d$ y $-d$ se cancelan: \begin{align*} S_n &= a_1 + (a_1 + d) + \dots + (a_n - d) + a_n \ +\quad S_n &= a_n + (a_n - d) + \dots + (a_1 + d) + a_1 \ \hline 2S_n &= (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \dots + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) \end{align*}
Como hay $n$ términos en la sucesión, vas a tener $n$ parejas de $(a_1 + a_n)$ del lado derecho. Entonces: $$2S_n = n(a_1 + a_n)$$
Si divides ambos lados entre 2, llegas a la fórmula: $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
$\square$