Sumar y restar números en la forma a + bi.
La suma y la resta de complejos son las operaciones fundamentales que arman la estructura del plano complejo (plano de Argand). Algebraicamente, estas operaciones se basan en tratar a la unidad imaginaria $i$ como una variable que cumple $i^2 = -1$ y en aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de los números reales. Para sumar o restar números complejos de la forma $a+bi$, simplemente combina los términos semejantes: las partes reales con las partes reales, y las partes imaginarias con las partes imaginarias. Esta sencillez esconde el poder de la operación; extiende el campo de los números reales $\mathbb{R}$ al campo de los números complejos $\mathbb{C}$, conservando la estructura de grupo aditivo.
Geométricamente, la suma de complejos funciona igual que la suma de vectores en el plano cartesiano bidimensional $\mathbb{R}^2$. Si visualizas un número complejo $z = a+bi$ como un vector $\vec{v} = \langle a, b \rangle$ que sale del origen, sumar dos números complejos $z_1 + z_2$ sigue la "regla del paralelogramo" (o el método de punta y cola) que se usa en física y cálculo vectorial. Por lo tanto, la resta de complejos $z_1 - z_2$ representa la diferencia vectorial, apuntando de $z_2$ a $z_1$.
En las olimpiadas de matemáticas (AMC 12, AIME), esta interpretación geométrica es mucho más útil que la pura definición algebraica. La suma de complejos representa una traslación del plano. Si fijas un número complejo $w$, la función $f(z) = z + w$ desplaza cada punto $z$ según el vector asociado a $w$. Además, la magnitud de la diferencia, $|z_1 - z_2|$, representa la distancia euclidiana entre los puntos $z_1$ y $z_2$. Dominar estas interpretaciones te permite resolver problemas de geometría usando coordenadas complejas, convirtiendo restricciones sobre distancias y puntos medios en ecuaciones algebraicas.
Sean $z_1 = a + bi$ y $z_2 = c + di$, donde $a, b, c, d \in \mathbb{R}$.
Operaciones Algebraicas $$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$$ $$z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i$$
Propiedades Geométricas La distancia entre dos números complejos en el plano de Argand es el módulo de su diferencia: $$d(z_1, z_2) = |z_1 - z_2| = \sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}$$
La Desigualdad del Triángulo Una desigualdad crucial para determinar límites en problemas de optimización: $$|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$$ La igualdad se cumple si y solo si $z_1 = k z_2$ para algún número real no negativo $k$ (lo que significa que los vectores tienen la misma dirección).
La Ley del Paralelogramo Relaciona los lados y las diagonales de un paralelogramo formado por $0, z_1, z_2,$ y $z_1+z_2$: $$|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)$$
Teorema: La Desigualdad del Triángulo $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$.
Demostración: La idea es demostrar que el módulo de la suma es menor o igual a la suma de los módulos. Como ambos lados de la desigualdad son no negativos, puedes elevar ambos lados al cuadrado. La desigualdad $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$ es equivalente a: $$|z_1 + z_2|^2 \le (|z_1| + |z_2|)^2$$
Paso 1: Desarrolla el lado izquierdo (LHS). Recuerda la propiedad $|w|^2 = w\bar{w}$. $$|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)\overline{(z_1 + z_2)}$$ Usando la propiedad distributiva del conjugado $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$: $$= (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2})$$ $$= z_1\overline{z_1} + z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1} + z_2\overline{z_2}$$ $$= |z_1|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1\overline{z_2}} + |z_2|^2$$ Nota que $z_2\overline{z_1}$ es el conjugado de $z_1\overline{z_2}$. Para cualquier número complejo $w$, $w + \bar{w} = 2\text{Re}(w)$. Por lo tanto: $$|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\text{Re}(z_1\overline{z_2})$$
Paso 2: Desarrolla el lado derecho (RHS). $$(|z_1| + |z_2|)^2 = |z_1|^2 + 2|z_1||z_2| + |z_2|^2$$
Paso 3: Compara el LHS y el RHS. Lo que hay que mostrar es: $$|z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\text{Re}(z_1\overline{z_2}) \le |z_1|^2 + 2|z_1||z_2| + |z_2|^2$$ Si restas $|z_1|^2 + |z_2|^2$ de ambos lados, la desigualdad se reduce a: $$2\text{Re}(z_1\overline{z_2}) \le 2|z_1||z_2|$$ $$\text{Re}(z_1\overline{z_2}) \le |z_1||z_2|$$
Paso 4: Verifica la desigualdad reducida. Recuerda que $|z_1||z_2| = |z_1\overline{z_2}|$. Toma $w = z_1\overline{z_2}$. Tienes que mostrar que $\text{Re}(w) \le |w|$. Si $w = x + iy$, entonces $\text{Re}(w) = x$ y $|w| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Como $y^2 \ge 0$, tienes que $x^2 \le x^2 + y^2$, lo que implica que $x \le \sqrt{x^2} \le \sqrt{x^2 + y^2}$. Así que $\text{Re}(w) \le |w|$ siempre es cierto.
Como los pasos son reversibles, la desigualdad original se cumple. $$|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$$ $\square$