Encontrar y aprovechar los valores donde la función se queda igual: f(x) = x.
El análisis de puntos fijos es una técnica central para resolver ecuaciones funcionales, sobre todo en el nivel de olimpiada. Un punto fijo de una función $f$ es un valor $c$ en el dominio tal que $f(c) = c$. En muchos problemas de ecuaciones funcionales, establecer que existe un punto fijo sirve como un "ancla" vital. Una vez que encuentras un punto fijo $c$, puedes sustituirlo en la ecuación original para simplificar expresiones, cancelar términos o determinar los valores de $f$ en puntos específicos (como $f(0)$ o $f(1)$).
Esta técnica se usa seguido junto con propiedades como inyectividad, suprayectividad y monotonía. Por ejemplo, si sabes que una función es biyectiva, encontrar un punto fijo puede ayudarte a determinar la biyección específica (que seguido es la función identidad $f(x)=x$). Una estrategia común es demostrar que un valor específico, como el $0$, es un punto fijo (o sea, $f(0)=0$), y luego extender esta propiedad a otros valores usando la estructura de la ecuación que te dan.
En un nivel más avanzado, el análisis de puntos fijos implica estudiar el comportamiento de funciones iteradas. Si $f(f(x)) = x$, la función es una involución, y el estudio de sus puntos fijos se vuelve crucial. Además, combinar el análisis de puntos fijos con la monotonía te lleva a lemas muy potentes. Si una función es estrictamente creciente y tiene una propiedad involutiva, muchas veces puedes demostrar que cada punto en el dominio es un punto fijo, lo que reduce el problema a la solución $f(x) = x$.
Definición de un Punto Fijo Un valor $c$ es un punto fijo de $f$ si: $$f(c) = c$$
Funciones Iteradas Si $c$ es un punto fijo de $f$, también es un punto fijo de la $n$-ésima iteración de $f$: $$f(c) = c \implies f(f(c)) = c \implies \underbrace{f(f(\dots f}_{n \text{ veces}}(c)\dots)) = c$$
El Lema de Monotonía para Puntos Fijos Si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es estrictamente creciente y $f(f(x)) = x$ para todo $x$, entonces: $$f(x) = x \quad \text{para todo } x \in \mathbb{R}$$
Intuición de Mapeo Contractivo (Desigualdades) Si una función cumple una condición como $|f(x) - f(y)| < |x - y|$ para $x \neq y$, entonces $f$ puede tener a lo mucho un punto fijo. Si $f(x)$ representa una sucesión recursiva $x_{n+1} = f(x_n)$ que converge, entonces converge a un punto fijo $L$ donde: $$L = f(L)$$
Teorema: Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función estrictamente creciente tal que $f(f(x)) = x$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Entonces $f(x) = x$ para todo $x \in \mathbb{R}$.
Demostración: Para esto, usa una demostración por contradicción apoyándote en la propiedad de tricotomía de los números reales. Para cualquier $x$, exactamente una de las siguientes debe ser cierta: $f(x) > x$, $f(x) < x$ o $f(x) = x$.
Supón, para llegar a una contradicción, que existe algún $x_0 \in \mathbb{R}$ tal que $f(x_0) \neq x_0$.
Caso 1: Supón que $f(x_0) > x_0$. Como $f$ es estrictamente creciente, al aplicar $f$ en ambos lados de la desigualdad se mantiene el sentido de la misma: $$f(f(x_0)) > f(x_0)$$ Por el enunciado del problema, sabes que $f(f(x)) = x$ para todo $x$. Sustituyendo el lado izquierdo: $$x_0 > f(x_0)$$ Esto contradice directamente lo que supusiste para el Caso 1 (que $f(x_0) > x_0$). Por lo tanto, este caso es imposible.
Caso 2: Supón que $f(x_0) < x_0$. De nuevo, como $f$ es estrictamente creciente, aplica $f$ en ambos lados: $$f(f(x_0)) < f(x_0)$$ Sustituyendo $f(f(x_0)) = x_0$: $$x_0 < f(x_0)$$ Esto contradice la suposición del Caso 2 (que $f(x_0) < x_0$). Así que este caso también es imposible.
Conclusión: Como ni $f(x_0) > x_0$ ni $f(x_0) < x_0$ son posibles, la única opción que queda es que $f(x_0) = x_0$. Como $x_0$ fue un elemento arbitrario del dominio, puedes concluir que $f(x) = x$ para todo $x \in \mathbb{R}$. $\square$