La relación clásica |a + b| ≤ |a| + |b| y su variante |a - b| ≥ ||a| - |b||.
La Desigualdad del Triángulo Algebraica es un principio fundamental en el análisis y el álgebra que pone un límite al valor absoluto de una suma. Geométricamente, te dice que la longitud de cualquier lado de un triángulo tiene que ser menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados. Algebraicamente, este concepto se traduce al comportamiento de los valores absolutos (o magnitudes) para números reales, números complejos y vectores. Básicamente, asegura que la magnitud de una suma nunca es mayor que la suma de las magnitudes de sus partes.
Esta desigualdad te la vas a encontrar en todos lados en las matemáticas de competencia, sobre todo en el AMC 10/12 y el AIME. Se usa mucho para establecer cotas inferiores y superiores para expresiones, para minimizar funciones que involucran sumas de valores absolutos (muchas veces junto con el principio de la mediana) y para probar convergencia en análisis más avanzado. Es súper útil cuando analizas la distancia entre números, ya que $|x - y|$ representa la distancia entre $x$ y $y$ en la recta numérica.
La intuición detrás de la desigualdad depende de los signos de los números que estés usando. Si dos números $a$ y $b$ tienen el mismo signo (o si uno es cero), sus valores absolutos se suman de forma constructiva, lo que resulta en una igualdad. Sin embargo, si $a$ y $b$ tienen signos opuestos, se cancelan parcialmente entre sí dentro del valor absoluto $|a+b|$, haciendo que el resultado sea estrictamente menor que la suma de sus valores absolutos individuales $|a| + |b|$.
La Desigualdad del Triángulo Estándar Para cualesquiera números reales $a$ y $b$: $$|a + b| \le |a| + |b|$$ La igualdad se cumple si y solo si $ab \ge 0$ (es decir, $a$ y $b$ tienen el mismo signo o al menos uno es cero).
La Desigualdad del Triángulo Inversa Esta variante te da una cota inferior para el valor absoluto de una diferencia: $$|a - b| \ge \Big| |a| - |b| \Big|$$ La igualdad se cumple si y solo si $ab \ge 0$ y $|a| \ge |b|$ (o en general si $a$ y $b$ tienen el mismo signo).
Generalización para $n$ términos Usando inducción, puedes extender la desigualdad a cualquier suma finita de números reales $x_1, x_2, \dots, x_n$: $$\left| \sum_{i=1}^n x_i \right| \le \sum_{i=1}^n |x_i|$$ La igualdad se cumple si y solo si todos los $x_i$ que no son cero tienen el mismo signo.
Aquí te dejo la demostración de la desigualdad del triángulo estándar $|a + b| \le |a| + |b|$ para números reales usando las propiedades de los cuadrados.
Paso 1: Preparación Como ambos lados de la desigualdad, $|a + b|$ y $|a| + |b|$, son no negativos, la desigualdad $|a + b| \le |a| + |b|$ se cumple si y solo si también se cumple para sus cuadrados. $$|a + b|^2 \le (|a| + |b|)^2$$
Paso 2: Expansión Recuerda que para cualquier número real $x$, $|x|^2 = x^2$. Si expandes el lado izquierdo (LHS): $$|a + b|^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
Y si expandes el lado derecho (RHS): $$(|a| + |b|)^2 = |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = a^2 + 2|ab| + b^2$$
Paso 3: Comparación Si metes estas expansiones de nuevo en la desigualdad del Paso 1, lo que tienes que demostrar es: $$a^2 + 2ab + b^2 \le a^2 + 2|ab| + b^2$$
Si restas $a^2 + b^2$ de ambos lados, la desigualdad se simplifica a: $$2ab \le 2|ab|$$ Si divides entre 2, llegas a: $$ab \le |ab|$$
Paso 4: Conclusión Por la definición de valor absoluto, para cualquier número real $x$, siempre es cierto que $x \le |x|$ (si $x$ es positivo, $x=|x|$; si $x$ es negativo, $x < |x|$). Así que, si tomas $x = ab$, la expresión $ab \le |ab|$ siempre va a ser cierta.
Como puedes hacer todos estos pasos al revés y la desigualdad de los cuadrados se cumple, la desigualdad original también tiene que cumplirse: $$|a + b| \le |a| + |b|$$ $\square$