El término medio es el promedio de sus vecinos.
La Propiedad de la Media Aritmética es la característica que define a las sucesiones aritméticas, y te da un vínculo geométrico y algebraico entre términos consecutivos. En una sucesión aritmética, cada término (menos el primero y el último) es la media aritmética (el promedio) de sus vecinos inmediatos. Si tres números $a, b, c$ forman una progresión aritmética, entonces el término de en medio $b$ es exactamente la mitad de la suma de los términos de los extremos $a$ y $c$. Este concepto va más allá de los vecinos inmediatos; cualquier término en una sucesión aritmética es el promedio de cualquier par de términos que estén a la misma distancia de él.
Esta propiedad es una herramienta clave en las matemáticas de competencia, sobre todo en el AMC 8 y AMC 10, porque te permite armar ecuaciones sin tener que definir explícitamente el primer término $a_1$ o la diferencia común $d$. Cuando un problema dice que "tres números están en progresión aritmética", la forma más eficiente de plantearlo algebraicamente suele ser usar la relación $2b = a + c$ en lugar de meter variables nuevas para la diferencia común. Esto reduce lo complejo de los sistemas de ecuaciones y aprovecha la simetría natural de la sucesión.
De forma intuitiva, una sucesión aritmética representa una función lineal ($y = mx + b$) evaluada en intervalos enteros. En una línea recta, el punto medio de un segmento está exactamente a la mitad de los puntos finales verticalmente. Por lo tanto, si tomas tres puntos con la misma separación en el eje x, el valor de y del punto de en medio tiene que ser el promedio de los valores de y de los puntos exteriores. Esta linealidad es la razón por la que la "media aritmética" se llama así: es la media que sale de una progresión aritmética.
Propiedad Básica para Tres Términos Si $a, b, c$ son términos consecutivos en una sucesión aritmética, entonces: $$b = \frac{a + c}{2}$$ O, en la forma más útil para evitar fracciones al hacer cálculos: $$2b = a + c$$
Propiedad General Para cualquier término $a_n$ en una sucesión aritmética (donde $n > k$), $a_n$ es el promedio de los términos que están a $k$ pasos de distancia en cualquier dirección: $$a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2}$$
Suma de Términos Equidistantes En una sucesión aritmética finita con $n$ términos, la suma de los términos que están a la misma distancia del principio y del final es constante e igual a la suma del primer y el último término: $$a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$$
Teorema: Si $x, y, z$ son tres términos consecutivos de una sucesión aritmética, entonces $y = \frac{x+z}{2}$.
Demostración: Digamos que la diferencia común de la sucesión aritmética es $d$. Por la definición de una sucesión aritmética, la diferencia entre términos consecutivos es constante. Por lo tanto, puedes escribir la relación entre los términos como: $$y - x = d$$ $$z - y = d$$
Como ambas expresiones son iguales a $d$, las puedes igualar: $$y - x = z - y$$
Para despejar el término de en medio $y$, suma $y$ en ambos lados y suma $x$ en ambos lados: $$y + y = x + z$$ $$2y = x + z$$
Al dividir ambos lados entre 2, obtienes la media aritmética: $$y = \frac{x + z}{2}$$
Generalización: Esta lógica funciona para términos separados por $k$ pasos. Si consideras los términos $a_{n-k}, a_n, a_{n+k}$, la diferencia entre $a_n$ y $a_{n-k}$ es $k \cdot d$, y la diferencia entre $a_{n+k}$ y $a_n$ también es $k \cdot d$. $$(a_n) - (a_{n-k}) = kd$$ $$(a_{n+k}) - (a_n) = kd$$ Al igualar estas diferencias llegas a $2a_n = a_{n-k} + a_{n+k}$, lo que demuestra que la propiedad se cumple para cualquier par de vecinos equidistantes.
$\square$