Productos que se simplifican al cancelar términos.
Un producto telescópico es un tipo específico de producto finito o infinito donde los términos están construidos de tal forma que el numerador de un término se cancela con el denominador de un término posterior (o al revés). Muy parecido a una suma telescópica, donde los términos intermedios se suman para dar cero, un producto telescópico colapsa una cadena larga de multiplicaciones en una expresión simple que solo involucra los componentes iniciales y finales de la sucesión. Esta técnica es un básico en competencias como el AMC 10/12 y el AIME, ya que te permite evaluar productos con cientos o miles de términos sin tener que hacer la cuenta directamente.
La estrategia fundamental para identificar un producto telescópico es manipular el término general del producto, que normalmente escribes como $a_k$, para que se convierta en una razón de términos consecutivos de una sucesión diferente, como $b_{k+1}/b_k$. Una vez que expresas el término general en esta forma de razón, al expandir el producto verás un patrón de cancelación "diagonal". Por ejemplo, en el producto de $b_{k+1}/b_k$, el numerador de la primera fracción cancela al denominador de la segunda, y así sucesivamente, dejando solo el denominador del primerito término y el numerador del último término.
Para que te salgan bien los productos telescópicos, muchas veces vas a necesitar hacer algo de álgebra antes de que la naturaleza telescópica sea evidente. Algunas técnicas comunes incluyen factorizar polinomios, usar fracciones parciales (adaptadas para productos) o aplicar identidades de diferencia de cuadrados. Un ejemplo clásico involucra términos de la forma $(1 - 1/k^2)$, que puedes factorizar como $\frac{k-1}{k} \cdot \frac{k+1}{k}$. Al separar estos en dos cadenas telescópicas distintas, puedes simplificar productos complejos muy rápido.
La Propiedad Telescópica Fundamental Si una sucesión $a_k$ se puede escribir como una razón $\frac{b_{k+1}}{b_k}$, entonces: $$ \prod_{k=1}^n a_k = \prod_{k=1}^n \frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{b_{n+1}}{b_1} $$
La Propiedad Inversa Si la razón está invertida, los que sobreviven son el primer numerador y el último denominador: $$ \prod_{k=1}^n \frac{b_k}{b_{k+1}} = \frac{b_1}{b_{n+1}} $$
La Identidad de "Diferencia de Cuadrados" Una aplicación muy común en competencias involucra la sucesión $1 - \frac{1}{k^2}$. Esto se simplifica al dividir el producto en dos partes telescópicas separadas: $$ \prod_{k=2}^n \left(1 - \frac{1}{k^2}\right) = \prod_{k=2}^n \frac{(k-1)(k+1)}{k^2} = \left( \prod_{k=2}^n \frac{k-1}{k} \right) \left( \prod_{k=2}^n \frac{k+1}{k} \right) = \frac{n+1}{2n} $$
Teorema: Para una sucesión de números reales distintos de cero $b_1, b_2, \dots, b_{n+1}$, el producto $\prod_{k=1}^n \frac{b_{k+1}}{b_k}$ da como resultado $\frac{b_{n+1}}{b_1}$.
Demostración: Digamos que $P$ es el producto definido por: $$ P = \prod_{k=1}^n \frac{b_{k+1}}{b_k} $$
Expande la notación de producto escribiendo los términos para $k=1, k=2, \dots, k=n$: $$ P = \left( \frac{b_2}{b_1} \right) \cdot \left( \frac{b_3}{b_2} \right) \cdot \left( \frac{b_4}{b_3} \right) \cdot \dots \cdot \left( \frac{b_n}{b_{n-1}} \right) \cdot \left( \frac{b_{n+1}}{b_n} \right) $$
Como la multiplicación es asociativa y conmutativa (para los números reales), puedes reagrupar los términos para resaltar la cancelación. Nota que el numerador del $k$-ésimo término es $b_{k+1}$, y el denominador del término $(k+1)$-ésimo también es $b_{k+1}$.
$$ P = \frac{1}{b_1} \cdot \left( \frac{b_2}{1} \cdot \frac{1}{b_2} \right) \cdot \left( \frac{b_3}{1} \cdot \frac{1}{b_3} \right) \cdot \dots \cdot \left( \frac{b_n}{1} \cdot \frac{1}{b_n} \right) \cdot b_{n+1} $$
Como $b_k \neq 0$, cada par agrupado $\left( \frac{b_k}{b_k} \right)$ es igual a 1: $$ P = \frac{1}{b_1} \cdot (1) \cdot (1) \cdot \dots \cdot (1) \cdot b_{n+1} $$
Así, todos los términos intermedios se cancelan, dejando solo el denominador de la primera fracción y el numerador de la última fracción: $$ P = \frac{b_{n+1}}{b_1} $$
$\square$