f(x) = x^c para x > 0.
La ecuación funcional multiplicativa en los números reales positivos la escribimos como $f(xy) = f(x)f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}^+$. Esta es una de las cuatro ecuaciones funcionales fundamentales de Cauchy. Mientras que la ecuación de Cauchy aditiva describe funciones lineales que pasan por el origen, la versión multiplicativa en los reales positivos caracteriza a las funciones potencia. Específicamente, bajo condiciones de regularidad sencillas como continuidad, monotonía o estar acotada en un intervalo, las soluciones que no son cero toman la forma $f(x) = x^c$ para alguna constante $c$.
Este concepto es una pieza clave del álgebra de olimpiada porque muchas ecuaciones funcionales complejas las puedes reducir a esta forma haciendo sustituciones. La técnica estándar para resolver esta ecuación es transformar el dominio y el rango usando logaritmos. Si haces $x = e^u$ y $y = e^v$, la estructura multiplicativa de las entradas pasa a ser una estructura aditiva. Si la función es estrictamente positiva, al tomar el logaritmo de la salida también conviertes la estructura multiplicativa del rango en una aditiva, lo que mapea el problema a la ecuación aditiva de Cauchy estándar $g(u+v) = g(u) + g(v)$.
Entender esta ecuación es clave para resolver problemas donde la función actúa como un homomorfismo entre grupos multiplicativos. Aparece con frecuencia en competencias como el AIME