Aplicación a funciones con curvatura hacia abajo como √x o ln(x).
La Desigualdad de Jensen es un resultado fundamental en el análisis convexo que relaciona el valor de una función en un punto promedio con el promedio de los valores de la función. Aunque casi siempre la enseñan para funciones convexas, aplicarla a funciones cóncavas es igual de útil y común en las olimpiadas de matemáticas. Una función $f$ de valores reales es cóncava en un intervalo $I$ si el segmento de recta que une cualquier par de puntos en la gráfica de $f$ queda por debajo o sobre la gráfica. Geométricamente, esto significa que la gráfica "se dobla hacia abajo" (como una cara triste). Ejemplos comunes de funciones cóncavas en matemáticas de competencia incluyen $\sqrt{x}$, $\ln(x)$ y $\sin(x)$ en el intervalo $[0, \pi]$.
Para una función cóncava, la Desigualdad de Jensen dice que la "función del promedio" es mayor o igual al "promedio de la función". Específicamente, si $f$ es cóncava, aplicar la función a un promedio ponderado de las entradas te da un valor que no es menor que el promedio ponderado de las salidas. Esto es justo al revés de la dirección que usas para funciones convexas. Esta propiedad la vuelve una herramienta esencial para demostrar desigualdades de maximización o para encontrar cotas superiores en sumas que tienen raíces y logaritmos.
La utilidad de la Desigualdad de Jensen para funciones cóncavas muchas veces depende de la Prueba de la Segunda Derivada. Si una función $f$ es dos veces diferenciable en un intervalo $I$ y $f''(x) \le 0$ para toda $x \in I$, entonces $f$ es cóncava en $I$. Si logras reconocer la concavidad de los términos en una expresión algebraica, puedes convertir rápidamente una suma compleja de funciones en la evaluación de una sola función. Esto suele simplificar el problema al punto de que una manipulación algebraica estándar o AM-GM pueden terminar la demostración.
Definición de Concavidad Una función $f: I \to \mathbb{R}$ es cóncava si para toda $x, y \in I$ y toda $t \in [0, 1]$: $$ f(tx + (1-t)y) \ge tf(x) + (1-t)f(y) $$
Desigualdad de Jensen (Forma General) Sea $f$ una función cóncava en un intervalo $I$. Para cualesquiera puntos $x_1, x_2, \dots, x_n \in I$: $$ f\left( \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \right) \ge \frac{f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)}{n} $$
Desigualdad de Jensen (Forma Ponderada) Sea $f$ una función cóncava en un intervalo $I$. Para cualesquiera puntos $x_1, \dots, x_n \in I$ y pesos positivos $w_1, \dots, w_n$ que sumen $W = \sum w_i$: $$ f\left( \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + w_n x_n}{W} \right) \ge \frac{w_1 f(x_1) + w_2 f(x_2) + \dots + w_n f(x_n)}{W} $$ Si los pesos están normalizados de tal forma que $\sum w_i = 1$, esto se simplifica a: $$ f\left( \sum_{i=1}^n w_i x_i \right) \ge \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) $$
Condiciones para la Igualdad La igualdad se cumple si y solo si $x_1 = x_2 = \dots = x_n$, o si la función $f$ es lineal en el intervalo que contiene a los puntos.
Funciones Cóncavas Comunes
Aquí tienes la demostración de la Desigualdad de Jensen general sin pesos para funciones cóncavas usando inducción matemática.
Teorema: Si $f$ es una función cóncava en un intervalo $I$, entonces para toda $n \ge 2$ y $x_1, \dots, x_n \in I$: $$ f\left( \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \right) \ge \frac{\sum_{i=1}^n f(x_i)}{n} $$
Demostración:
Caso Base ($n=2$): Por la definición de concavidad, para cualesquiera $x_1, x_2 \in I$ y $t = \frac{1}{2}$: $$ f\left( \frac{1}{2}x_1 + \left(1-\frac{1}{2}\right)x_2 \right) \ge \frac{1}{2}f(x_1) + \left(1-\frac{1}{2}\right)f(x_2) $$ $$ f\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) \ge \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} $$ El caso base se cumple.
Paso Inductivo: Supón que la desigualdad se cumple para algún entero $k \ge 2$. Es decir: $$ f\left( \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k x_i \right) \ge \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k f(x_i) $$ Lo que hay que demostrar es que se cumple para $k+1$. Toma $x_1, \dots, x_{k+1} \in I$. Sea $\bar{x}$ la media aritmética de los primeros $k$ términos: $$ \bar{x} = \frac{x_1 + \dots + x_k}{k} $$ Nota que $\bar{x} \in I$ porque los intervalos son conjuntos convexos. Puedes expresar el promedio de los $k+1$ términos como un promedio ponderado de $\bar{x}$ y $x_{k+1}$: $$ \frac{x_1 + \dots + x_{k+1}}{k+1} = \frac{k\bar{x} + x_{k+1}}{k+1} = \frac{k}{k+1}\bar{x} + \frac{1}{k+1}x_{k+1} $$ Como $f$ es cóncava, aplica la definición de concavidad (o el caso base ponderado) con pesos $\frac{k}{k+1}$ y $\frac{1}{k+1}$: $$ f\left( \frac{k}{k+1}\bar{x} + \frac{1}{k+1}x_{k+1} \right) \ge \frac{k}{k+1}f(\bar{x}) + \frac{1}{k+1}f(x_{k+1}) $$ Ahora, aplica la hipótesis inductiva a $f(\bar{x})$: $$ f(\bar{x}) = f\left( \frac{x_1 + \dots + x_k}{k} \right) \ge \frac{f(x_1) + \dots + f(x_k)}{k} $$ Sustituyendo esto de nuevo en la desigualdad: $$ \begin{aligned} f\left( \frac{\sum_{i=1}^{k+1} x_i}{k+1} \right) &\ge \frac{k}{k+1} \left[ \frac{f(x_1) + \dots + f(x_k)}{k} \right] + \frac{1}{k+1}f(x_{k+1}) \ &= \frac{f(x_1) + \dots + f(x_k)}{k+1} + \frac{f(x_{k+1})}{k+1} \ &= \frac{\sum_{i=1}^{k+1} f(x_i)}{k+1} \end{aligned} $$ Así, la desigualdad se cumple para $k+1$. Por el principio de inducción matemática, la desigualdad se cumple para todos los enteros $n \ge 2$.
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