Listas de números con una razón constante: a_n = a_1 · r^(n-1).
Una sucesión geométrica (o progresión geométrica) es una lista de números donde cada término después del primero lo obtienes multiplicando el anterior por un número fijo y distinto de cero llamado razón común. Si el primer término es $a_1$ y la razón común es $r$, puedes escribir la sucesión como $a_1, a_1r, a_1r^2, a_1r^3, \dots$. A diferencia de las sucesiones aritméticas, que muestran un crecimiento o decrecimiento lineal, las sucesiones geométricas modelan el crecimiento exponencial (si $|r| > 1$) o el decaimiento exponencial (si $0 < |r| < 1$). Este concepto es fundamental en las matemáticas de competencia y lo vas a encontrar en problemas que van desde el interés compuesto y fractales hasta teoría de números y procesos de límite.
El poder de las sucesiones geométricas está en su estructura multiplicativa predecible. Esta estructura te permite sacar fórmulas cerradas para el término $n$-ésimo y la suma de los primeros $n$ términos. En las olimpiadas, las sucesiones geométricas suelen aparecer disfrazadas, como en sistemas de ecuaciones, definiciones recursivas o problemas de geometría con figuras semejantes. Si logras reconocer una progresión geométrica, puedes reducir un proceso iterativo complejo a una sola fórmula algebraica.
Una idea clave para resolver problemas avanzados es la conexión entre las series geométricas y la factorización de polinomios. La suma de una serie geométrica está ligada intrínsecamente a la