Derivando la Forma Exponencial

Teoría

A la ecuación funcional $f(x+y) = f(x)f(y)$ la conocemos como la Ecuación Exponencial de Cauchy. Describe un proceso donde el resultado de sumar las entradas es igual al producto de sus resultados individuales. Este comportamiento es la característica que define a las funciones exponenciales. En las matemáticas de olimpiada, esta ecuación suele aparecer como un puente entre restricciones algebraicas abstractas y funciones exponenciales concretas. Es el análogo multiplicativo de la clásica Ecuación Funcional de Cauchy $f(x+y) = f(x) + f(y)$.

Para resolver esta ecuación, tienes que extender el dominio paso a paso: de los números naturales a los enteros, luego a los racionales y finalmente a los números reales. Un punto clave es que, aunque la solución $f(x) = a^x$ funciona para todos los números racionales $x$ de forma puramente algebraica, para extender esta solución a todos los reales necesitas una "condición de regularidad" adicional. Sin condiciones como continuidad, monotonía o acotación, existen soluciones "salvajes" que son densas en el plano y que no puedes construir sin el Axioma de Elección.

En problemas de olimpiada, usas frecuentemente la ecuación $f(x+y) = f(x)f(y)$ para transformar un problema de sumas y productos en uno de exponentes. Una técnica común para simplificar esta ecuación (siempre que $f(x) > 0$) es sacar el logaritmo natural en ambos lados para transformarla en $\ln f(x+y) = \ln f(x) + \ln f(y)$. Si tomas $g(x) = \ln f(x)$, esto se convierte en la ecuación aditiva estándar de Cauchy $g(x+y) = g(x) + g(y)$, que tiene la solución $g(x) = cx$, lo que implica que $f(x) = e^{cx} = a^x$.

Fórmulas Clave

La Ecuación Exponencial de Cauchy: $$f(x+y) = f(x)f(y)$$

Soluciones Generales:

1. La Solución Trivial: $$f(x) = 0 \quad \text{para toda } x$$
2. La Solución Exponencial: $$f(x) = a^x \quad \text{(donde } a > 0 \text{ es una constante)}$$ También la puedes escribir como $f(x) = e^{cx}$ para alguna constante $c$.

Condiciones Necesarias para $f(x) = a^x$ sobre $\mathbb{R}$: Para concluir que $f(x) = a^x$ es la única solución no nula para toda $x \in \mathbb{R}$, la función $f$ tiene que cumplir la ecuación funcional y al menos una de las siguientes condiciones de regularidad:

• $f$ es continua en un punto (o en todos lados).
• $f$ es monótona (creciente o decreciente) en un intervalo.
• $f$ está acotada en un intervalo.
• $f(x) > 0$ es medible (contexto avanzado).

Solución sobre $\mathbb{Q}$: Sin ninguna condición de regularidad, para $x \in \mathbb{Q}$: $$f(x) = [f(1)]^x$$

Demostración

Teorema: Si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ cumple $f(x+y) = f(x)f(y)$ y es continua, entonces $f(x) \equiv 0$ o $f(x) = a^x$ para alguna $a > 0$.

Demostración:

Paso 1: Analiza el caso de cero y el signo Primero, nota que $f(x) = f(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}) = f(\frac{x}{2})^2 \geq 0$. Por lo tanto, $f(x)$ nunca es negativa. Supón que existe algún $x_0$ tal que $f(x_0) = 0$. Entonces, para cualquier $x$, $$f(x) = f(x - x_0 + x_0) = f(x - x_0)f(x_0) = f(x - x_0) \cdot 0 = 0$$ Si $f$ es cero en algún punto, es cero en todas partes. Esto te da la solución trivial $f(x) \equiv 0$. De aquí en adelante, asume que $f(x)$ no es idénticamente cero. Por lo tanto, $f(x) > 0$ para toda $x$.

Paso 2: Determina $f(0)$ y los valores enteros Como $f(x)$ no es idénticamente cero, existe una $y$ tal que $f(y) \neq 0$. $$f(y) = f(y+0) = f(y)f(0) \implies f(0) = 1$$ Por inducción, para cualquier $n \in \mathbb{N}$: $$f(n) = f(1 + 1 + \dots + 1) = f(1) \cdot f(1) \dots f(1) = f(1)^n$$ Sea $a = f(1)$. Como $f(x) > 0$, tienes que $a > 0$. Para los enteros negativos, nota que $1 = f(0) = f(1 + (-1)) = f(1)f(-1)$. $$f(-1) = \frac{1}{f(1)} = a^{-1}$$ Por inducción, para cualquier entero $k \in \mathbb{Z}$, $f(k) = a^k$.

Paso 3: Valores racionales Sea $x = \frac{p}{q}$ donde $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$. $$f(p) = f\left(\underbrace{\frac{p}{q} + \dots + \frac{p}{q}}_{q \text{ veces}}\right) = \left[ f\left(\frac{p}{q}\right) \right]^q$$ También sabes que $f(p) = a^p$. Al igualar estas expresiones: $$\left[ f\left(\frac{p}{q}\right) \right]^q = a^p \implies f\left(\frac{p}{q}\right) = a^{p/q}$$ Así que $f(x) = a^x$ para toda $x \in \mathbb{Q}$.

Paso 4: Valores reales (usando continuidad) Sea $x \in \mathbb{R}$. Como $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$, existe una sucesión de números racionales ${q_n}$ tal que $\lim_{n \to \infty} q_n = x$. Como $f$ es continua: $$f(x) = f\left(\lim_{n \to \infty} q_n\right) = \lim_{n \to \infty} f(q_n)$$ Usando el resultado del Paso 3: $$f(x) = \lim_{n \to \infty} a^{q_n} = a^{\lim_{n \to \infty} q_n} = a^x$$ Por lo tanto, la única solución continua no nula es $f(x) = a^x$.

$\square$