Existen soluciones no medibles.
Cuando estudias la ecuación funcional de Cauchy, $f(x+y) = f(x) + f(y)$, ya sabes que si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ cumple con alguna condición de regularidad sencilla —como continuidad, monotonía, estar acotada en un intervalo o ser medible— las únicas soluciones son de la forma $f(x) = cx$ para alguna constante $c$. Sin embargo, si no pones esas condiciones de regularidad, existen soluciones "salvajes" o patológicas que no tienen la forma $f(x) = cx$. Estas funciones son súper irregulares; sus gráficas son densas en el plano euclidiano $\mathbb{R}^2$, lo que significa que dentro de cualquier círculo en el plano, por más pequeño que sea, hay un punto $(x, f(x))$ de la gráfica.
La existencia de estas soluciones patológicas depende de ver al conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre el campo de los números racionales $\mathbb{Q}$. Usando el Axioma de Elección (específicamente el Lema de Zorn), puedes demostrar que existe una base de Hamel para $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$. Una base de Hamel es un conjunto de números reales tal que cada número real se puede expresar de forma única como una combinación lineal finita de elementos de la base con coeficientes racionales.
Las soluciones patológicas se construyen definiendo los valores de la función de forma arbitraria en los elementos de la base de Hamel y extendiendo la función a todo $\mathbb{R}$ por linealidad. Como la base es infinita (no numerable), tienes infinitos grados de libertad para definir $f$. Estas soluciones son importantes en competencias avanzadas como el USAMO porque demuestran por qué las suposiciones "fáciles" (como la continuidad) se tienen que decir explícitamente o demostrarse, y sirven como contraejemplos a la idea de que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ implica linealidad sobre los reales.
La Ecuación Aditiva de Cauchy: $$f(x+y) = f(x) + f(y) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$
Homogeneidad Racional (derivada de la aditividad): $$f(qx) = qf(x) \quad \forall x \in \mathbb{R}, \forall q \in \mathbb{Q}$$
Representación en la Base de Hamel: Sea $\mathcal{B} = {b_i}{i \in I}$ una base de Hamel para $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$. Cualquier $x \in \mathbb{R}$ se puede escribir de forma única como una suma finita: $$x = \sum{k=1}^n q_k b_{i_k}$$ donde $q_k \in \mathbb{Q}$ y $b_{i_k} \in \mathcal{B}$.
Solución General usando la Base de Hamel: Si asignas un valor arbitrario $v_i \in \mathbb{R}$ a cada elemento de la base $b_i$, la función queda definida como: $$f(x) = \sum_{k=1}^n q_k v_{i_k}$$ Esta función cumple la ecuación de Cauchy. Es lineal (de la forma $f(x)=cx$) si y solo si la razón $\frac{v_i}{b_i}$ es constante para toda $i \in I$.
Teorema: Existen soluciones discontinuas (patológicas) para la ecuación funcional de Cauchy $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumple $f(x+y) = f(x) + f(y)$.
Demostración:
Paso 1: Estructura de Espacio Vectorial Considera a $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{Q}$. Por el Axioma de Elección, específicamente el teorema sobre la existencia de bases en espacios vectoriales, existe una base de Hamel $\mathcal{B}$ para $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$.
Paso 2: Representación Única Por la definición de base, cada número real $x$ se puede expresar de forma única como una combinación lineal finita de elementos de $\mathcal{B}$ con coeficientes racionales. Es decir, para cualquier $x \in \mathbb{R}$, existen índices únicos $i_1, \dots, i_n$ y racionales únicos distintos de cero $q_1, \dots, q_n$ tales que: $$x = q_1 b_{i_1} + q_2 b_{i_2} + \dots + q_n b_{i_n}$$
Paso 3: Construcción de la Función Define una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ especificando sus valores en el conjunto base $\mathcal{B}$. Sea $g: \mathcal{B} \to \mathbb{R}$ una función arbitraria. Extiéndela a todo $\mathbb{R}$ mediante la combinación lineal que obtuviste en el Paso 2: $$f(x) = f\left(\sum_{k=1}^n q_k b_{i_k}\right) := \sum_{k=1}^n q_k g(b_{i_k})$$
Paso 4: Verificación de la Aditividad Toma $x, y \in \mathbb{R}$. Puedes escribirlos en términos de la base $\mathcal{B}$. Como la suma es finita, puedes considerar la unión de los elementos de la base involucrados en $x$ y $y$. Llamemos a estos elementos de la base $b_1, \dots, b_m$. $$x = \sum_{j=1}^m \alpha_j b_j \quad \text{y} \quad y = \sum_{j=1}^m \beta_j b_j$$ donde $\alpha_j, \beta_j \in \mathbb{Q}$ (algunos pueden ser cero). Entonces: $$x + y = \sum_{j=1}^m (\alpha_j + \beta_j) b_j$$ Aplicando la definición de $f$: $$f(x+y) = \sum_{j=1}^m (\alpha_j + \beta_j) g(b_j) = \sum_{j=1}^m \alpha_j g(b_j) + \sum_{j=1}^m \beta_j g(b_j) = f(x) + f(y)$$ Así que $f$ cumple la ecuación de Cauchy.
Paso 5: Demostración de la Patología Para mostrar que $f$ no es necesariamente de la forma $f(x) = cx$, elige valores específicos para los elementos de la base. Como $1$ y $\sqrt{2}$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$, pueden ser parte de una base de Hamel $\mathcal{B}$. Haz que $b_1 = 1$ y $b_2 = \sqrt{2}$. Define $g$ en la base de tal forma que $g(1) = 1$ y $g(\sqrt{2}) = 0$ (y arbitraria en lo demás). Si $f(x)$ fuera de la forma $cx$, entonces: $$f(1) = c(1) \implies c = 1$$ Sin embargo, esto implicaría que: $$f(\sqrt{2}) = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$$ Pero por nuestra construcción, $f(\sqrt{2}) = 0$. Como $0 \neq \sqrt{2}$, $f(x)$ no es de la forma $cx$. Como $f(x) \neq cx$, $f$ no puede ser continua, lo que demuestra la existencia de soluciones patológicas.
$\square$