Deducir o usar el hecho de que una función siempre crece o siempre decrece.
Los argumentos de monotonía en ecuaciones funcionales consisten en deducir que una función $f$ preserva o invierte el orden; o sea, que es creciente o decreciente. En el contexto de álgebra de olimpiada, casi nunca te dan esta propiedad de forma explícita; más bien, tienes que derivarla de la ecuación dada, muchas veces observando que la función mapea diferencias positivas a diferencias positivas (por ejemplo, $f(x+y^2) = f(x) + y^2$) o manipulando desigualdades. Una vez que la estableces, la monotonía es una restricción muy poderosa porque controla lo "salvaje" de las funciones arbitrarias, descartando soluciones patológicas que aparecen cuando solo hay restricciones algebraicas.
La utilidad principal de la monotonía está en su conexión con la inyectividad y la continuidad. Una función estrictamente monótona es inyectiva automáticamente, lo que te permite cancelar $f$ de ambos lados de una ecuación ($f(x) = f(y) \implies x=y$). Además, la monotonía sirve como un puente de los números racionales $\mathbb{Q}$ a los números reales $\mathbb{R}$. Aunque la manipulación algebraica suele resolver una ecuación funcional sobre $\mathbb{Q}$, extender la solución a $\mathbb{R}$ normalmente requiere continuidad, acotamiento o monotonía.
Ideas clave al aplicar esta técnica incluyen buscar términos como cuadrados ($x^2$) o exponenciales que son intrínsecamente