Escribir como suma de cuadrados.
El método SOS (Suma de Cuadrados, por sus siglas en inglés) es una técnica poderosa y sistemática que se usa para demostrar desigualdades algebraicas, especialmente las que aparecen en competencias de alto nivel como la USAMO y la IMO. La filosofía fundamental es simple: un número real al cuadrado siempre es no negativo ($x^2 \ge 0$). Por lo tanto, si puedes manipular una expresión $E$ para que sea una suma de cuadrados de números reales, es decir, $E = \sum_{i} k_i x_i^2$ donde los pesos $k_i$ son no negativos, entonces queda demostrado que $E \ge 0$. Mientras que las desigualdades elementales suelen depender de encontrar aplicaciones específicas de AM-GM o Cauchy-Schwarz, el método SOS te da un algoritmo canónico para manejar polinomios simétricos y homogéneos.
Este método se aplica con mayor frecuencia a desigualdades simétricas en tres variables, $a, b, c$. La meta es transformar una desigualdad de la forma $f(a,b,c) \ge 0$ a la forma canónica de SOS: $$ S_a (b-c)^2 + S_b (c-a)^2 + S_c (a-b)^2 \ge 0 $$ donde $S_a, S_b, S_c$ son expresiones en términos de $a, b, c$. El poder del método está en que no necesitas que $S_a, S_b, S_c$ sean no negativos individualmente (lo cual sería trivial). En su lugar, te apoyas en el orden de las variables (por ejemplo, suponiendo $a \ge b \ge c$) para mostrar que la suma ponderada sigue siendo no negativa incluso si uno de los coeficientes es negativo, siempre y cuando los coeficientes positivos sean lo suficientemente grandes para compensarlo.
El método SOS es especialmente útil cuando una desigualdad es "ajustada" (la igualdad se da cuando $a=b=c$) o cuando la desigualdad es más fuerte de lo que los promedios estándar pueden demostrar. Sirve como un puente entre el álgebra elemental y la optimización avanzada basada en cálculo, ofreciendo una estructura algebraica rigurosa para analizar el comportamiento de los polinomios cerca de los casos de igualdad.
1. La Forma Canónica de SOS Para un polinomio simétrico homogéneo de grado $k$ en tres variables, la desigualdad $f(a,b,c) \ge 0$ es equivalente a: $$ S_a(b-c)^2 + S_b(c-a)^2 + S_c(a-b)^2 \ge 0 $$ donde $S_a, S_b, S_c$ son funciones de $a, b, c$.
2. Identidades Básicas para la Descomposición SOS Para convertir expresiones a la forma SOS, estas identidades son esenciales: $$ x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = \frac{1}{2} \left[ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \right] $$ $$ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c) \cdot \frac{1}{2} \left[ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right] $$
3. El Teorema SOS (Criterios de Positividad) Supón sin perder generalidad que $a \ge b \ge c$. La expresión $S = S_a(b-c)^2 + S_b(c-a)^2 + S_c(a-b)^2$ es no negativa si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:
Teorema: Dados los números reales $a \ge b \ge c$, si $S_b \ge 0$, $S_a + S_b \ge 0$ y $S_c + S_b \ge 0$, entonces: $$ \Sigma = S_a(b-c)^2 + S_b(a-c)^2 + S_c(a-b)^2 \ge 0 $$
Demostración: Analiza el término $(a-c)^2$ asociado con $S_b$. Como $a \ge b \ge c$, la distancia entre $a$ y $c$ es la suma de las distancias entre $a,b$ y $b,c$. $$ a - c = (a - b) + (b - c) $$ Al elevar ambos lados al cuadrado: $$ (a-c)^2 = ((a-b) + (b-c))^2 = (a-b)^2 + (b-c)^2 + 2(a-b)(b-c) $$ Como $a \ge b \ge c$, el término $(a-b)(b-c)$ es no negativo. Por lo tanto, tienes la desigualdad: $$ (a-c)^2 \ge (a-b)^2 + (b-c)^2 $$
Ahora, sustituye esta desigualdad en la expresión principal $\Sigma$. Como sabes que $S_b \ge 0$, puedes multiplicar la desigualdad de arriba por $S_b$ sin cambiar el signo: $$ S_b(a-c)^2 \ge S_b(a-b)^2 + S_b(b-c)^2 $$
Al sustituir este límite inferior para el término de en medio en la suma original $\Sigma$: $$ \Sigma \ge S_a(b-c)^2 + \left[ S_b(a-b)^2 + S_b(b-c)^2 \right] + S_c(a-b)^2 $$
Luego, agrupa los términos por los cuadrados $(b-c)^2$ y $(a-b)^2$: $$ \Sigma \ge (S_a + S_b)(b-c)^2 + (S_c + S_b)(a-b)^2 $$
Ahora examina los coeficientes de los términos al cuadrado:
Como la suma de términos no negativos es no negativa, concluyes que: $$ \Sigma \ge 0 $$ $\square$