Usar mayorización y la desigualdad de Karamata para analizar casos extremos.
El suavizamiento es una técnica poderosa en las desigualdades algebraicas que sirve para manipular las variables de una función —normalmente una suma simétrica— hacia un estado específico, como la igualdad (todas las variables iguales) o una condición de frontera (algunas variables en cero). La filosofía central se basa en el concepto de Mayorización. Intuitivamente, dices que un conjunto de variables $x = (x_1, \dots, x_n)$ mayoriza a $y = (y_1, \dots, y_n)$, que escribimos como $x \succ y$, si los elementos de $x$ están "más dispersos" que los de $y$, pero mantienen la misma suma total. Considera que el vector $y$ es "más suave" que $x$.
Esta técnica conecta la "dispersión" de las variables con el valor de una suma $\sum f(x_i)$ a través de la Desigualdad de Karamata. Si la función $f$ es convexa (curvada hacia arriba), la suma alcanza su valor máximo cuando las variables están lo más dispersas posible (mayorización) y su valor mínimo cuando están lo más suavizadas posible (todas iguales). Al revés, si $f$ es cóncava, la suma alcanza su mínimo cuando las variables están dispersas y su máximo cuando son iguales.
En el contexto de las olimpiadas, esta técnica la vas a aplicar seguido de forma dinámica. En lugar de solo citar el teorema, puedes hacer un "paso de suavizamiento": eliges dos variables $x_i, x_j$ y las reemplazas por $x_i - \epsilon, x_j + \epsilon$ (acercándolas entre sí) o las separas hacia la frontera. Si logras mostrar que esa operación aumenta o disminuye la expresión de forma monótona, el problema queda en revisar los casos extremos (por ejemplo, que $n-1$ variables sean 0, o que todas sean iguales).
Definición de Mayorización ($x \succ y$) Sean $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ y $y = (y_1, y_2, \dots, y_n)$ dos sucesiones de números reales. Sin perder generalidad, supón que están ordenadas de forma descendente: $$x_1 \ge x_2 \ge \dots \ge x_n \quad \text{y} \quad y_1 \ge y_2 \ge \dots \ge y_n$$ Dices que $x$ mayoriza a $y$ (lo escribimos como $x \succ y$) si:
Desigualdad de Karamata (La Desigualdad de Mayorización) Sea $f: I \to \mathbb{R}$ una función definida en un intervalo $I$. Si $x, y \in I^n$ tales que $x \succ y$:
Paso de Suavizamiento Elemental Si $x_1 > x_2$ y $\epsilon \in (0, \frac{x_1-x_2}{2}]$, entonces: $$ (x_1, x_2) \succ (x_1 - \epsilon, x_2 + \epsilon) $$ Para una función convexa $f$, esto implica: $$ f(x_1) + f(x_2) \ge f(x_1 - \epsilon) + f(x_2 + \epsilon) $$
Aquí tienes la demostración del Paso de Suavizamiento Elemental, que es la pieza fundamental de esta técnica. Una demostración rigurosa de la desigualdad de Karamata general sale del hecho (Hardy-Littlewood-Pólya) de que si $x \succ y$, puedes obtener $y$ a partir de $x$ mediante una secuencia finita de estos pasos elementales.
Teorema: Sea $f$ una función convexa en un intervalo $I$. Sean $a, b \in I$ con $a > b$. Sean $c, d \in I$ tales que $a > c \ge d > b$ y $a+b = c+d$. Entonces $f(a) + f(b) \ge f(c) + f(d)$.
Demostración: Como $a+b = c+d$, toma $S$ como la suma constante. Puedes parametrizar las variables por su distancia al punto medio. Sea $\mu = \frac{a+b}{2} = \frac{c+d}{2}$. Como $a > c \ge d > b$, el par $(a,b)$ está "más disperso" respecto a la media $\mu$ que el par $(c,d)$. Específicamente, puedes escribir: $$ a = \mu + h_1, \quad b = \mu - h_1 $$ $$ c = \mu + h_2, \quad d = \mu - h_2 $$ donde $h_1 > h_2 \ge 0$.
Define la función $g(t) = f(\mu + t) + f(\mu - t)$ para $t \ge 0$. Lo que quieres mostrar es que $g(h_1) \ge g(h_2)$ dado que $h_1 > h_2$. Basta con mostrar que $g(t)$ es no decreciente para $t > 0$.
Como $f$ es convexa, su derivada $f'$ (o la pendiente de las rectas sec