Raíces de la unidad

Teoría

Las raíces $n$-ésimas de la unidad son las soluciones complejas de la ecuación polinomial $z^n = 1$. Mientras que los números reales ofrecen a lo mucho dos soluciones ($1$ y, si $n$ es par, $-1$), el Teorema Fundamental del Álgebra garantiza exactamente $n$ raíces distintas en el plano complejo. Estas raíces son súper importantes en las matemáticas de competencia porque conectan el álgebra, la geometría y la teoría de números. Permiten factorizar polinomios como $x^n - 1$ y son la base para estudiar los polinomios ciclotómicos.

Geométricamente, las raíces $n$-ésimas de la unidad están en el círculo unitario del plano complejo, lo que significa que todas tienen magnitud $1$. Están distribuidas de forma uniforme alrededor del origen, dividiendo los $2\pi$ radianes del círculo en $n$ sectores iguales. Por lo tanto, estas raíces forman los vértices de un $n$-ágono regular inscrito en el círculo unitario, con un vértice siempre fijo en el número real $1$. Esta simetría geométrica se usa mucho en problemas de Olimpiada para simplificar sumas, productos y rotaciones con números complejos.

Un concepto clave en este tema es la raíz "primitiva" de la unidad. Una raíz $\omega$ se llama raíz $n$-ésima primitiva de la unidad si $\omega^n = 1$ pero $\omega^k \neq 1$ para cualquier entero positivo $k < n$. Si $\omega$ es una raíz primitiva (que normalmente escribimos como $e^{i \frac{2\pi}{n}}$), entonces puedes generar el conjunto de las $n$ raíces simplemente tomando las potencias de $\omega$: ${1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}}$.

Fórmulas Clave

Forma General Las $n$ raíces $n$-ésimas de la unidad, que escribimos como $\epsilon_0, \epsilon_1, \dots, \epsilon_{n-1}$, están dadas por: $$ \epsilon_k = \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right) = e^{i \frac{2\pi k}{n}} $$ para $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

Propiedades de la Suma y el Producto Para cualquier entero $n > 1$, la suma de las raíces $n$-ésimas de la unidad es cero: $$ \sum_{k=0}^{n-1} \epsilon_k = 1 + \epsilon_1 + \epsilon_1^2 + \dots + \epsilon_1^{n-1} = 0 $$

El producto de las raíces $n$-ésimas de la unidad es: $$ \prod_{k=0}^{n-1} \epsilon_k = (-1)^{n-1} $$

Factorización de Polinomios El polinomio $z^n - 1$ se factoriza sobre los números complejos como: $$ z^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} \left(z - e^{i \frac{2\pi k}{n}}\right) $$

Raíces Primitivas Si $\omega$ es una raíz $n$-ésima primitiva de la unidad, entonces: $$ 1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{n-1} = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0 $$

Demostración

Teorema: Las soluciones de $z^n = 1$ están dadas por $z_k = \cos(\frac{2\pi k}{n}) + i\sin(\frac{2\pi k}{n})$ para $k=0, 1, \dots, n-1$.

Demostración: La idea es resolver la ecuación $z^n = 1$ para un número complejo $z$. Empieza expresando $z$ y $1$ en su forma polar (exponencial).

Toma $z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta}$, donde $r > 0$ es el módulo y $\theta$ es el argumento. Puedes expresar el número $1$ como un número complejo con módulo $1$ y un argumento que sea un múltiplo entero de $2\pi$: $$ 1 = 1 \cdot (\cos(2\pi k) + i \sin(2\pi k)) = e^{i(2\pi k)} $$ donde $k$ es cualquier entero.

Al sustituir estas formas en la ecuación original $z^n = 1$: $$ (re^{i\theta})^n = e^{i(2\pi k)} $$

Al aplicar el Teorema de De Moivre en el lado izquierdo, obtienes: $$ r^n e^{i(n\theta)} = 1 \cdot e^{i(2\pi k)} $$

Para que dos números complejos en forma polar sean iguales, sus módulos deben ser iguales y sus argumentos deben diferir por un múltiplo entero de $2\pi$.

1. Igualando los Módulos: $$ r^n = 1 $$ Como $r$ es un número real no negativo (una distancia), la única solución es $r = 1$. Esto confirma que todas las raíces están en el círculo unitario.

2. Igualando los Argumentos: $$ n\theta = 2\pi k $$ Despejando $\theta$: $$ \theta_k = \frac{2\pi k}{n} $$

Así, las soluciones tienen la forma: $$ z_k = 1 \cdot \left( \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right) \right) $$

Para encontrar las raíces distintas, sustituye valores enteros para $k$.

• Si $k=0$, $\theta = 0$.
• Si $k=1$, $\theta = \frac{2\pi}{n}$.
• ...
• Si $k=n-1$, $\theta = \frac{2\pi(n-1)}{n}$.

Si sigues con $k=n$, obtienes $\theta = \frac{2\pi n}{n} = 2\pi$, que corresponde a la misma posición en el plano complejo que $k=0$ (ya que el seno y el coseno son $2\pi$-periódicos). Por lo tanto, hay exactamente $n$ soluciones distintas que corresponden a $k = 0, 1, \dots, n-1$.

$\square$