Aplicación a funciones con curvatura hacia arriba como x², eˣ o -ln(x).
La desigualdad de Jensen es una herramienta súper potente en álgebra y análisis que relaciona el valor de una función convexa en un punto promedio con el promedio de los valores de la función en esos puntos. Geométricamente, una función $f$ con valores reales definida en un intervalo $I$ es convexa (o convexa hacia abajo) si el segmento de recta que une cualquier par de puntos en la gráfica de la función queda por encima o sobre la gráfica. Ejemplos comunes de funciones convexas son $f(x) = x^2$, $f(x) = e^x$ y $f(x) = -\ln(x)$ (porque $\ln(x)$ es cóncava). Una función diferenciable es convexa si su derivada es no decreciente o, lo que es lo mismo, si su segunda derivada es no negativa ($f''(x) \ge 0$) en todo su dominio.
La desigualdad dice que, para una función convexa, la "función del promedio" es menor o igual al "promedio de la función". Este concepto generaliza la definición de convexidad de dos puntos a un número arbitrario $n$ de puntos. Sirve como base para demostrar muchas desigualdades clásicas, como MA-MG (usando $f(x) = -\ln x$), la desigualdad de Hölder y la desigualdad de la media de potencias.
En las olimpiadas, encontrar la función convexa adecuada para aplicar Jensen suele ser el paso clave para resolver desigualdades algebraicas complejas. La desigualdad es muy útil cuando trabajas con sumas cíclicas o simétricas donde puedes interpretar las variables como pesos. Algo muy importante es que la igualdad se cumple si y solo si la función es lineal en el dominio que contiene a los puntos, o si todas las variables de entrada son iguales.
Definición de Convexidad Una función $f: I \to \mathbb{R}$ es convexa si para todo $x, y \in I$ y todo $t \in [0, 1]$: $$f(tx + (1-t)y) \le t f(x) + (1-t) f(y)$$
Desigualdad de Jensen (Forma General) Sea $f$ una función convexa en un intervalo $I$. Toma $x_1, x_2, \dots, x_n \in I$ y pesos no negativos $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ tales que $\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$. Entonces: $$f\left( \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \right) \le \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)$$
Desigualdad de Jensen (Forma sin pesos) Si haces que todos los pesos sean iguales ($\lambda_i = \frac{1}{n}$), obtienes la variante más común: $$f\left( \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \right) \le \frac{f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)}{n}$$
Condición de Igualdad La igualdad se cumple si y solo si $x_1 = x_2 = \dots = x_n$ o si $f$ es lineal en el intervalo que contiene a las $x_i$.
Para demostrar la desigualdad de Jensen pesada general para una función convexa $f$, la idea es usar inducción sobre $n$, el número de puntos.
Teorema: Si $f$ es convexa en el intervalo $I$, $\lambda_i \ge 0$ con $\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$, y $x_i \in I$, entonces $f\left( \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \right) \le \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)$.
Caso Base ($n=2$): Toma $\lambda_1 = t$ y $\lambda_2 = 1-t$ con $t \in [0,1]$. La expresión queda así: $$f(tx_1 + (1-t)x_2) \le t f(x_1) + (1-t) f(x_2)$$ Esto es exactamente la definición de una función convexa, así que el caso base se cumple.
Paso Inductivo: Supón que la desigualdad se cumple para algún entero $k \ge 2$. Lo que hay que mostrar es que también se cumple para $k+1$. Toma $x_1, \dots, x_{k+1} \in I$ y pesos $\lambda_1, \dots, \lambda_{k+1}$ tales que $\sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i = 1$. Si $\lambda_{k+1} = 1$, entonces todos los demás $\lambda_i = 0$ y la desigualdad se cumple de forma trivial. Supón que $\lambda_{k+1} < 1$.
Sea $S_k = \sum_{i=1}^k \lambda_i = 1 - \lambda_{k+1}$. Nota que $S_k > 0$. Puedes reescribir la suma pesada de los $k+1$ puntos como una combinación convexa de dos términos: el término $(k+1)$-ésimo y el promedio pesado de los primeros $k$ términos. $$\sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i x_i = \lambda_{k+1} x_{k+1} + \sum_{i=1}^k \lambda_i x_i = \lambda_{k+1} x_{k+1} + S_k \left( \sum_{i=1}^k \frac{\lambda_i}{S_k} x_i \right)$$
Sea $y = \sum_{i=1}^k \frac{\lambda_i}{S_k} x_i$. Fíjate que $\sum_{i=1}^k \frac{\lambda_i}{S_k} = \frac{S_k}{S_k} = 1$, así que $y$ es un promedio pesado válido de $x_1, \dots, x_k$. Como $I$ es un intervalo, $y \in I$.
Ahora aplica la definición de convexidad (el Caso Base $n=2$) a los puntos $x_{k+1}$ y $y$ con los pesos $\lambda_{k+1}$ y $S_k$: $$f\left( \lambda_{k+1} x_{k+1} + S_k y \right) \le \lambda_{k+1} f(x_{k+1}) + S_k f(y)$$
Sustituye $y$ de nuevo en el lado derecho: $$f\left( \sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i x_i \right) \le \lambda_{k+1} f(x_{k+1}) + S_k f\left( \sum_{i=1}^k \frac{\lambda_i}{S_k} x_i \right)$$
Por la hipótesis inductiva aplicada a los $k$ puntos $x_1, \dots, x_k$ con pesos $\frac{\lambda_i}{S_k}$: $$f\left( \sum_{i=1}^k \frac{\lambda_i}{S_k} x_i \right) \le \sum_{i=1}^k \frac{\lambda_i}{S_k} f(x_i)$$
Si multiplicas por $S_k$, obtienes: $$S_k f(y) \le \sum_{i=1}^k \lambda_i f(x_i)$$
Combinando las desigualdades: $$f\left( \sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i x_i \right) \le \lambda_{k+1} f(x_{k+1}) + \sum_{i=1}^k \lambda_i f(x_i) = \sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i f(x_i)$$
Por lo tanto, la desigualdad se cumple para $k+1$. Por el principio de inducción matemática, la desigualdad de Jensen se cumple para todo $n \ge 2$. $\square$