Truco de la Recta Tangente

Teoría

El Truco de la Recta Tangente es una técnica muy poderosa que se usa para demostrar desigualdades simétricas que involucran sumas de funciones, normalmente de la forma $\sum_{i=1}^n f(x_i) \ge C$ o $\sum_{i=1}^n f(x_i) \le C$, sujetas a una restricción en la suma de las variables, como $\sum_{i=1}^n x_i = S$. La idea central es linealizar el problema acotando la función $f(x)$ con una función lineal $y = mx + c$ que sea tangente a la curva en el punto donde se da la igualdad (que suele ser cuando todas las variables son iguales).

Este método es súper importante en las olimpiadas de matemáticas porque puede resolver desigualdades donde la función $f(x)$ no es globalmente convexa o cóncava, lo que hace que herramientas estándar como la Desigualdad de Jensen no se puedan aplicar directamente. Mientras que la Desigualdad de Jensen depende de la convexidad de $f(x)$ en todo el dominio, el Truco de la Recta Tangente solo pide que la curva se quede de un solo lado de la recta tangente dentro del rango específico de valores que permiten las restricciones del problema.

La intuición es geométrica: si puedes encontrar una recta que toque a $f(x)$ en el valor promedio de las variables y que esté totalmente por debajo (o por arriba) de la gráfica de $f(x)$ para todas las $x$ posibles, puedes reemplazar cada término $f(x_i)$ con su aproximación lineal. Como la suma de funciones lineales solo depende de la suma de las variables (que es un valor fijo), la desigualdad se simplifica de volada a una comparación de constantes. Esta técnica reduce de forma efectiva un problema complejo de optimización no lineal a simplemente verificar una desigualdad de una sola variable.

Fórmulas Clave

Sean $x_1, x_2, \dots, x_n$ números reales en un dominio $D$ tales que $\sum_{i=1}^n x_i = S$. Toma $\mu = \frac{S}{n}$ como la media aritmética (el punto donde se da la igualdad).

Para demostrar una desigualdad de la forma $\sum_{i=1}^n f(x_i) \ge n f(\mu)$, busca una cota lineal: $$f(x) \ge f'(\mu)(x - \mu) + f(\mu)$$ para toda $x \in D$.

Si esta desigualdad local se cumple, al sumar sobre todas las $i$ obtienes el resultado que buscas. La ecuación general de la recta tangente en $x=\mu$ es: $$y = mx + c$$ donde $m = f'(\mu)$ y $c = f(\mu) - \mu f'(\mu)$.

Para desigualdades cíclicas o simétricas donde las variables son reales positivos, la condición muchas veces se simplifica a checar la desigualdad: $$f(x) - (mx + c) = (x-\mu)^2 \cdot g(x) \ge 0$$ donde $g(x)$ es alguna función que no sea negativa en el dominio $D$.

Demostración

Teorema: Sea $f$ una función continua definida en un intervalo $I$. Sean $x_1, \dots, x_n \in I$ tales que $\sum_{i=1}^n x_i = n\mu$. Si existe una constante $m$ tal que para toda $x \in I$ se cumple la desigualdad $f(x) \ge m(x - \mu) + f(\mu)$, entonces: $$\sum_{i=1}^n f(x_i) \ge n f(\mu)$$

Demostración:

1. Establece la cota de la tangente: Por hipótesis, asume que la función $f(x)$ está acotada por debajo por la recta tangente a la curva en $x = \mu$ (o una recta de soporte en ese punto). Específicamente, para cualquier $x \in I$: $$f(x) \ge m(x - \mu) + f(\mu)$$ Aquí, $m$ representa la pendiente de la recta tangente, que normalmente es $f'(\mu)$.

2. Aplícalo a cada variable: Como $x_1, x_2, \dots, x_n$ están todos en el intervalo $I$, puedes aplicar la desigualdad del paso 1 a cada $x_i$: $$f(x_1) \ge m(x_1 - \mu) + f(\mu)$$ $$f(x_2) \ge m(x_2 - \mu) + f(\mu)$$ $$\vdots$$ $$f(x_n) \ge m(x_n - \mu) + f(\mu)$$

3. Suma las desigualdades: Al sumar estas $n$ desigualdades obtienes: $$\sum_{i=1}^n f(x_i) \ge \sum_{i=1}^n \left[ m(x_i - \mu) + f(\mu) \right]$$

4. Simplifica el lado derecho: Puedes separar las partes lineales y las constantes en el lado derecho: $$\sum_{i=1}^n \left[ m(x_i - \mu) + f(\mu) \right] = m\sum_{i=1}^n x_i - m\sum_{i=1}^n \mu + \sum_{i=1}^n f(\mu)$$

5. Usa la restricción: Te dan la restricción $\sum_{i=1}^n x_i = n\mu$. Al sustituir esto en la ecuación: $$= m(n\mu) - m(n\mu) + n f(\mu)$$ $$= 0 + n f(\mu)$$

6. Conclusión: Sustituyendo esto de regreso en la desigualdad del Paso 3, obtienes: $$\sum_{i=1}^n f(x_i) \ge n f(\mu)$$ La igualdad se cumple cuando $x_i = \mu$ para toda $i$, o potencialmente en otros puntos donde la curva $f(x)$ cruce la recta tangente.

$\square$