Rotación mediante Multiplicación

Teoría

Una de las aplicaciones más potentes de los números complejos en la geometría es la capacidad de hacer rotaciones a través de la multiplicación algebraica. En el plano complejo, puedes representar cualquier número complejo $z$ con una magnitud (módulo) y un ángulo (argumento). Cuando multiplicas un número complejo $z$ por un número complejo $w$ con módulo $1$, el módulo del producto resultante no cambia, pero el argumento del producto se vuelve la suma de los argumentos de $z$ y $w$. Por lo tanto, si multiplicas un punto $z$ por el número complejo unitario $\operatorname{cis}(\theta) = \cos \theta + i \sin \theta$, rotas el punto $z$ en sentido antihorario un ángulo $\theta$ alrededor del origen.

Esta técnica es fundamental en las matemáticas de competencia porque traduce transformaciones geométricas difíciles en ecuaciones algebraicas fáciles de manejar. Es especialmente útil para problemas que involucran polígonos regulares, triángulos equiláteros o configuraciones donde rotas cuerpos rígidos. A diferencia de las coordenadas cartesianas, que requieren matrices de rotación de $2 \times 2$ que pueden volverse pesadas de calcular, la rotación compleja resume la transformación en una sola operación de multiplicación. Esto permite encontrar soluciones elegantes a problemas de lugares geométricos y demostraciones que involucran semejanzas espirales.

La intuición se basa en la forma polar de los números complejos. Si ves un número complejo como un vector desde el origen, multiplicar por un escalar real estira el vector, mientras que multiplicar por un número complejo unitario lo rota. Al combinar esto, multiplicar por cualquier número complejo $w = r \operatorname{cis}(\theta)$ realiza una "semejanza espiral": rota el plano un ángulo $\theta$ y lo dilata por un factor de $r$. Dominar la rotación alrededor del origen es el primer paso; las aplicaciones avanzadas implican mover el sistema de coordenadas para rotar puntos alrededor de un centro arbitrario $z_0$.

Fórmulas Clave

Fórmula de Euler y Notación cis El número complejo que representa una rotación de ángulo $\theta$ se suele escribir como: $$ \operatorname{cis}(\theta) = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i\theta} $$

Rotación alrededor del Origen Para rotar un punto $z$ en sentido antihorario un ángulo $\theta$ alrededor del origen $0$: $$ z' = z \cdot e^{i\theta} = z(\cos \theta + i \sin \theta) $$

Rotación alrededor de un Punto Arbitrario Para rotar un punto $z$ en sentido antihorario un ángulo $\theta$ alrededor de un centro $z_0$: $$ z' - z_0 = (z - z_0)e^{i\theta} $$ $$ z' = z_0 + (z - z_0)(\cos \theta + i \sin \theta) $$

Rotaciones Comunes

• Rotación de $90^\circ$ ($\pi/2$): Multiplica por $i$.
• Rotación de $180^\circ$ ($\pi$): Multiplica por $-1$.
• Rotación de $60^\circ$ ($\pi/3$): Multiplica por $e^{i\pi/3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Rotación de $-90^\circ$ ($-\pi/2$): Multiplica por $-i$.

Demostración

Teorema: Multiplicar un número complejo $z$ por $w = \cos \theta + i \sin \theta$ da como resultado un número complejo $z'$ que representa a $z$ rotado en sentido antihorario un ángulo $\theta$ alrededor del origen.

Demostración: Toma un número complejo arbitrario $z$. Puedes expresar $z$ en su forma polar usando su módulo $r = |z|$ y su argumento $\phi = \arg(z)$: $$ z = r(\cos \phi + i \sin \phi) $$

Lo que queremos es calcular el producto $z' = z \cdot w$, donde $w = \cos \theta + i \sin \theta$. Nota que $|w| = \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = 1$.

Sustituye las expresiones de $z$ y $w$: $$ z' = [r(\cos \phi + i \sin \phi)] \cdot [\cos \theta + i \sin \theta] $$

Expande el producto de los dos términos entre corchetes: $$ z' = r [ (\cos \phi \cos \theta + i \cos \phi \sin \theta + i \sin \phi \cos \theta + i^2 \sin \phi \sin \theta) ] $$

Recuerda que $i^2 = -1$ y agrupa las partes reales e imaginarias: $$ z' = r [ (\cos \phi \cos \theta - \sin \phi \sin \theta) + i(\cos \phi \sin \theta + \sin \phi \cos \theta) ] $$

Ahora aplica las identidades trigonométricas de suma de ángulos:

1. $\cos(\phi + \theta) = \cos \phi \cos \theta - \sin \phi \sin \theta$
2. $\sin(\phi + \theta) = \sin \phi \cos \theta + \cos \phi \sin \theta$

Sustituye esto de nuevo en la expresión de $z'$: $$ z' = r [ \cos(\phi + \theta) + i \sin(\phi + \theta) ] $$

Al interpretar este resultado en coordenadas polares, nota que:

1. El módulo de $z'$ es $r$, que es el mismo que el módulo de $z$. Así que la distancia al origen se mantiene igual.
2. El argumento de $z'$ es $\phi + \theta$. Como el argumento original era $\phi$, el nuevo punto tiene un ángulo que aumentó en $\theta$.

Una transformación que mantiene la distancia al origen y aumenta el ángulo polar por $\theta$ es, por definición, una rotación de $\theta$ alrededor del origen.

$\square$