Relaciones para la suma, los productos de dos en dos y el producto de las tres raíces.
Las fórmulas de Vieta te dan una conexión fundamental entre las raíces de un polinomio y sus coeficientes. Para una ecuación cúbica, estas fórmulas relacionan las tres raíces (reales o complejas) con los coeficientes de los términos $x^3$, $x^2$, $x$ y el término constante. Esta relación te permite manipular expresiones simétricas de las raíces —como su suma, la suma de sus cuadrados o su producto— sin tener que calcular las raíces explícitamente.
Esta técnica es indispensable en las matemáticas de competencia, especialmente en el AMC 12 y el AIME. Encontrar las raíces de una ecuación cúbica usando la fórmula general suele ser tedioso o poco práctico. Las fórmulas de Vieta te ahorran ese problema, dándote un camino directo para evaluar expresiones como $r_1^2 + r_2^2 + r_3^2$ o para construir un polinomio si conoces ciertas propiedades de sus raíces.
La intuición detrás de las fórmulas de Vieta viene del Teorema del Factor. Si un polinomio tiene raíces $r_1, r_2, r_3$, lo puedes escribir como el producto de factores lineales $a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$. Al desarrollar este producto y agrupar los términos por potencias de $x$, puedes ver que los coeficientes son simplemente combinaciones de las raíces. Un patrón clave que debes notar es que los signos de las relaciones se