Σ(aᵢ²/bᵢ) ≥ (Σaᵢ)²/(Σbᵢ), súper útil para resolver sumas de fracciones.
La Forma de Engel de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, muy conocida en el mundo de las olimpiadas como el Lema de Titu (por Titu Andreescu) o la Desigualdad de Sedrakyan, es una herramienta súper potente para encontrar cotas inferiores en sumas de fracciones. Aunque matemáticamente es equivalente a la desigualdad de Cauchy-Schwarz estándar, su forma específica la hace mucho más intuitiva y rápida de aplicar en problemas de álgebra con expresiones racionales. Te permite "fusionar" denominadores en una suma, transformando una suma de fracciones difíciles en una sola fracción que casi siempre es más fácil de manejar.
Esta técnica aparece muchísimo en competencias como el AIME y el USAMO porque ataca directamente desigualdades de la forma $\sum \frac{f(x)^2}{g(x)}$. El lema funciona mejor cuando los numeradores son cuadrados perfectos (o puedes hacer que lo sean) y los denominadores son positivos. Al usar este lema, te puedes saltar el paso de definir explícitamente los vectores que pide la desigualdad de Cauchy-Schwarz normal, lo que hace que la demostración sea más fluida.
La intuición detrás del lema es que la "suma de razones es al menos la razón del cuadrado de la suma de los numeradores entre la suma de los denominadores". Básicamente dice que la forma más eficiente de repartir una "masa" total (los denominadores) para minimizar la suma de cuadrados pesados por el inverso de la masa es repartirla proporcionalmente a los numeradores. Es una técnica básica para demostrar desigualdades cíclicas y simétricas.
La Forma General Para números reales $a_1, a_2, \dots, a_n$ y números reales positivos $b_1, b_2, \dots, b_n$, se cumple la siguiente desigualdad:
$$ \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{b_i} \ge \frac{(\sum_{i=1}^n a_i)^2}{\sum_{i=1}^n b_i} $$
Si la expandes, se ve así: $$ \frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \dots + \frac{a_n^2}{b_n} \ge \frac{(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2}{b_1 + b_2 + \dots + b_n} $$
Condición de Igualdad La igualdad se cumple si y solo si las sucesiones son proporcionales: $$ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} $$
Caso Cíclico de Tres Variables Una aplicación muy común en problemas de olimpiada usa tres variables $x, y, z > 0$: $$ \frac{x^2}{A} + \frac{y^2}{B} + \frac{z^2}{C} \ge \frac{(x+y+z)^2}{A+B+C} $$
Aquí tienes la demostración del Lema de Titu como una consecuencia directa de la desigualdad de Cauchy-Schwarz estándar.
Paso 1: Recuerda la Desigualdad de Cauchy-Schwarz Estándar Para sucesiones de números reales $x_1, \dots, x_n$ y $y_1, \dots, y_n$, la desigualdad de Cauchy-Schwarz dice que: $$ \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n y_i^2 \right) \ge \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 $$
Paso 2: Elige Sucesiones Específicas Define las sucesiones $x_i$ y $y_i$ específicamente para que coincidan con la estructura de la Forma de Engel. Como $b_i > 0$, puedes sacar la raíz cuadrada de $b_i$. Toma: $$ x_i = \frac{a_i}{\sqrt{b_i}} \quad \text{y} \quad y_i = \sqrt{b_i} $$ para todo $i = 1, \dots, n$.
Paso 3: Sustituye en Cauchy-Schwarz Sustituye estas definiciones en la desigualdad estándar:
La primera suma queda así: $$ \sum_{i=1}^n x_i^2 = \sum_{i=1}^n \left( \frac{a_i}{\sqrt{b_i}} \right)^2 = \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{b_i} $$
La segunda suma queda así: $$ \sum_{i=1}^n y_i^2 = \sum_{i=1}^n (\sqrt{b_i})^2 = \sum_{i=1}^n b_i $$
El término dentro del cuadrado del lado derecho queda así: $$ \sum_{i=1}^n x_i y_i = \sum_{i=1}^n \left( \frac{a_i}{\sqrt{b_i}} \cdot \sqrt{b_i} \right) = \sum_{i=1}^n a_i $$
Paso 4: Arma la Desigualdad Si metes todo esto de nuevo en la estructura de Cauchy-Schwarz: $$ \left( \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{b_i} \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i \right) \ge \left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^2 $$
Paso 5: Aísla la Suma de Fracciones Como $b_i > 0$, la suma $\sum b_i$ es positiva. Puedes dividir ambos lados entre $\sum b_i$ sin cambiar el sentido de la desigualdad: $$ \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{b_i} \ge \frac{(\sum_{i=1}^n a_i)^2}{\sum_{i=1}^n b_i} $$
La condición de igualdad para Cauchy-Schwarz es que los vectores $\mathbf{x}$ y $\mathbf{y}$ sean proporcionales ($x_i = k y_i$). Si sustituyes las definiciones: $$ \frac{a_i}{\sqrt{b_i}} = k \sqrt{b_i} \implies a_i = k b_i \implies \frac{a_i}{b_i} = k $$ Así que la igualdad se cumple cuando $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n}$.
$\square$