Lugar Geométrico de la Mediatriz

Teoría

El lugar geométrico de la mediatriz es un concepto fundamental en la geometría compleja que traduce una restricción geométrica de equidistancia a una ecuación algebraica. En el plano complejo, la distancia entre dos números $z$ y $w$ está dada por el módulo $|z - w|$. Por eso, la ecuación $|z - a| = |z - b|$ describe el conjunto de todos los puntos $z$ que están a la misma distancia de dos puntos fijos $a$ y $b$. Geométricamente, este lugar es la recta que pasa por el punto medio del segmento que une a $a$ y $b$, y es perpendicular a ese segmento.

Esta técnica es clave en las matemáticas de competencia, especialmente en el AIME y en las Olimpiadas, porque te permite manipular rectas algebraicamente sin tener que usar coordenadas cartesianas ($x, y$). Si elevas el módulo al cuadrado y usas la propiedad $|w|^2 = w\bar{w}$, puedes convertir la condición geométrica en una ecuación lineal en términos de $z$ y $\bar{z}$. Esto es muy útil cuando trabajas con circuncentros (la intersección de las mediatrices) o cuando quieres encontrar la reflexión de un punto sobre una recta definida por otros dos puntos.

La intuición detrás de este enfoque se basa en la interpretación vectorial de los números complejos. La expresión $z-a$ representa el vector que va de $a$ a $z$. La condición implica que la longitud del vector de $a$ a $z$ es idéntica a la longitud del vector de $b$ a $z$. A diferencia de la geometría cartesiana, donde la perpendicularidad implica pendientes recíprocas negativas, la geometría compleja maneja la perpendicularidad y la distancia al mismo tiempo con la aritmética de conjugados, lo que suele simplificar los cálculos en problemas con círculos y polígonos cíclicos.

Fórmulas Clave

1. La ecuación básica del lugar geométrico El conjunto de puntos $z$ equidistantes de dos puntos fijos distintos $a$ y $b$ está dado por: $$|z - a| = |z - b|$$

2. La forma al cuadrado (punto de partida algebraico) Para hacer manipulaciones algebraicas, casi siempre tienes que elevar ambos lados al cuadrado: $$|z - a|^2 = |z - b|^2$$

3. La forma expandida con conjugados Si usas la identidad $|w|^2 = w\bar{w}$, la ecuación se expande a una relación lineal entre $z$ y $\bar{z}$: $$(z - a)(\bar{z} - \bar{a}) = (z - b)(\bar{z} - \bar{b})$$

4. La ecuación general de la recta Si reacomodas la forma expandida, obtienes la ecuación compleja estándar de una recta: $$z(\bar{b} - \bar{a}) + \bar{z}(b - a) = |b|^2 - |a|^2$$ O de forma equivalente: $$z(\bar{a} - \bar{b}) + \bar{z}(a - b) = |a|^2 - |b|^2$$

5. Forma paramétrica Los puntos en la mediatriz también los puedes parametrizar usando un parámetro real $t \in \mathbb{R}$: $$z = \frac{a+b}{2} + it(b-a)$$ Aquí, $\frac{a+b}{2}$ es el punto medio, e $i(b-a)$ representa la dirección perpendicular al segmento $ab$ (una rotación de $90^\circ$).

Demostración

Teorema: El lugar geométrico de los puntos $z$ que cumplen $|z - a| = |z - b|$ es la mediatriz del segmento que une a $a$ y $b$.

Demostración:

Toma dos números complejos distintos $a$ y $b$. Lo que buscas es el lugar geométrico de los puntos $z$ tales que la distancia de $z$ a $a$ sea igual a la distancia de $z$ a $b$.

1. Empieza con la condición de distancia: $$|z - a| = |z - b|$$

2. Como el módulo no es negativo, puedes elevar ambos lados al cuadrado sin perder información: $$|z - a|^2 = |z - b|^2$$

3. Aplica la propiedad $|w|^2 = w\bar{w}$ para convertir los módulos en productos de conjugados: $$(z - a)\overline{(z - a)} = (z - b)\overline{(z - b)}$$

4. Distribuye los conjugados en la resta ($\overline{z-a} = \bar{z} - \bar{a}$): $$(z - a)(\bar{z} - \bar{a}) = (z - b)(\bar{z} - \bar{b})$$

5. Desarrolla ambos lados: $$z\bar{z} - z\bar{a} - a\bar{z} + a\bar{a} = z\bar{z} - z\bar{b} - b\bar{z} + b\bar{b}$$

6. Resta el término común $z\bar{z}$ de ambos lados. Nota que $a\bar{a} = |a|^2$ y $b\bar{b} = |b|^2$: $$- z\bar{a} - a\bar{z} + |a|^2 = - z\bar{b} - b\bar{z} + |b|^2$$

7. Reacomoda los términos para agrupar $z$ y $\bar{z}$: $$z\bar{b} - z\bar{a} + b\bar{z} - a\bar{z} = |b|^2 - |a|^2$$ $$z(\bar{b} - \bar{a}) + \bar{z}(b - a) = |b|^2 - |a|^2$$

Esta ecuación resultante tiene la forma $\bar{\omega}z + \omega\bar{z} = k$ (donde $\omega = b-a$ y $k = |b|^2 - |a|^2 \in \mathbb{R}$), la cual describe una línea recta en el plano complejo.

Para confirmar que esta recta es la mediatriz:

• Punto medio: Sustituye el punto medio $m = \frac{a+b}{2}$ en la ecuación original $|z-a|=|z-b|$. $$|\frac{a+b}{2} - a| = |\frac{b-a}{2}| \quad \text{y} \quad |\frac{a+b}{2} - b| = |\frac{a-b}{2}|$$ Como $|w| = |-w|$, el punto medio está en el lugar geométrico.
• Perpendicularidad: La dirección del segmento que une a $a$ y $b$ está representada por el vector $b-a$. El coeficiente de $\bar{z}$ en la ecuación de la recta que obtuviste es $(b-a)$. En la ecuación general de la recta $\bar{\omega}z + \omega\bar{z} = k$, el número complejo $\omega$ representa el vector normal a la recta. Por lo tanto, el vector $b-a$ es normal (perpendicular) a la recta del lugar geométrico.

Como el lugar geométrico es una recta que pasa por el punto medio del segmento $ab$ y es perpendicular a $ab$, entonces es la mediatriz.

$\square$