Raíces ζ donde ζ^k ≠ 1 para k < n.
Las raíces $n$-ésimas de la unidad son las soluciones complejas de la ecuación $z^n = 1$. Aunque hay exactamente $n$ de estas raíces en el círculo unitario del plano complejo, no todas se portan igual algebraicamente. A una raíz $\zeta$ le llamas raíz $n$-ésima primitiva de la unidad si $n$ es el entero positivo más chico tal que $\zeta^n = 1$. En otras palabras, las potencias de una raíz primitiva $\zeta$ generan todas las raíces $n$-ésimas de la unidad: ${ \zeta^1, \zeta^2, \dots, \zeta^n }$. Si una raíz no es primitiva, sus potencias van a ciclar en un subconjunto más chico de raíces que corresponden a un divisor de $n$.
Entender las raíces primitivas es clave para resolver problemas avanzados de álgebra y teoría de números que salen en competencias como el AIME. Funcionan como un puente entre los números complejos y la aritmética modular. Específicamente, los exponentes de las raíces se portan como enteros módulo $n$. Por eso, la cantidad de raíces $n$-ésimas primitivas de la unidad la sacas con la función phi de Euler, $\phi(n)$. Geométricamente, si las raíces $n$-ésimas de la unidad forman un $n$-ágono regular inscrito en el círculo unitario con un vértice en 1, las raíces primitivas