El caso básico (a + b)/2 ≥ √(ab), donde la igualdad ocurre cuando a = b.
La desigualdad de la media aritmética y la media geométrica (AM-GM) es una de las herramientas más fundamentales y usadas para resolver problemas de álgebra, especialmente en competencias como el AMC 10 y el AMC 12. Para dos variables, esta desigualdad dice que la media aritmética de dos números reales no negativos siempre es mayor o igual que su media geométrica. La igualdad ocurre si y solo si los dos números son iguales. Esta desigualdad te da un límite estricto que relaciona la suma de dos números con su producto.
En las matemáticas de competencia, vas a usar AM-GM principalmente para problemas de optimización y para demostrar otras desigualdades. Es la técnica estándar que te sirve para minimizar una suma cuando el producto es fijo (o sabes que es constante) y para maximizar un producto cuando la suma es fija. Una aplicación clásica es minimizar la suma de un número y su recíproco, $x + \frac{1}{x}$, donde el producto es la constante $1$.
Intuitivamente, AM-GM te dice que para una suma total fija, el producto de dos números alcanza su máximo cuando los números están lo más "cerca" posible (específicamente, cuando son iguales). Geométricamente, esto equivale a que, de todos los rectángulos con un perímetro fijo, el cuadrado es el que tiene el área más grande. Aunque el caso de dos variables es sencillo, te sirve como base para la desigualdad AM-GM general de $n$ variables y muchas veces la vas a usar de forma iterativa para resolver sistemas algebraicos complejos.