Desigualdad de Schur

Teoría

La Desigualdad de Schur es un resultado fundamental en la teoría de desigualdades, súper útil para probar desigualdades simétricas con tres números reales no negativos. Te sirve como una herramienta principal en el método de "Suma de Cuadrados" (SOS), dándote un criterio para determinar si un polinomio homogéneo simétrico es no negativo. Aunque desigualdades como AM-GM o Cauchy-Schwarz te dan límites basados en magnitudes, la Desigualdad de Schur se enfoca específicamente en la relación entre potencias y productos cíclicos de diferencias, capturando cómo se comportan los polinomios cerca de los bordes y del centro ($x=y=z$).

Esta desigualdad es muy poderosa porque puede probar relaciones que otras desigualdades que parecen más fuertes (como la Desigualdad de Muirhead) no pueden manejar. Por ejemplo, mientras que Muirhead requiere mayorización, la Desigualdad de Schur puede verificar que una expresión es no negativa aunque no cumpla con los criterios de mayorización. Se usa seguido en competencias de alto nivel como el USAMO y la IMO para establecer que expresiones cíclicas de grado 3 y grado 4 son no negativas. La intuición detrás de Schur es que, para reales no negativos, los términos "pesados" con la mayor magnitud (el término $x^n$ asociado a la variable más grande) dominan las partes negativas que vienen de los términos mixtos.

Fórmulas Clave

Forma General Para números reales no negativos $x, y, z$ y cualquier número real $n > 0$: $$x^n(x-y)(x-z) + y^n(y-z)(y-x) + z^n(z-x)(z-y) \ge 0$$ La igualdad se cumple si y solo si $x=y=z$ o si dos variables son iguales y la tercera es cero (por ejemplo, $x=y, z=0$).

Caso de Grado 3 ($n=1$) Esta es la variación más común que vas a encontrar en las competencias. Si sustituyes $n=1$: $$x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) \ge 0$$

Forma Expandida ($n=1$) Si expandes el caso de grado 3, obtienes una identidad vital que relaciona la suma de cubos con sumas simétricas: $$x^3 + y^3 + z^3 + 3xyz \ge xy(x+y) + yz(y+z) + zx(z+x)$$ O en notación de polinomios simétricos elementales, donde $\sum_{sym}$ denota la suma simétrica: $$\sum_{sym} x^3 + 3xyz \ge 2\sum_{sym} x^2y$$

Caso de Grado 4 ($n=2$) $$x^4 + y^4 + z^4 + xyz(x+y+z) \ge xy(x^2+y^2) + yz(y^2+z^2) + zx(z^2+x^2)$$

Demostración

Teorema: Para $x, y, z \ge 0$ y $n > 0$, la expresión $S = x^n(x-y)(x-z) + y^n(y-z)(y-x) + z^n(z-x)(z-y)$ es no negativa.

Demostración: Como la desigualdad es simétrica en $x, y, z$, puedes suponer sin perder generalidad que las variables están ordenadas. Supón que: $$x \ge y \ge z \ge 0$$

Analiza la expresión término por término: $$S = x^n(x-y)(x-z) + y^n(y-z)(y-x) + z^n(z-x)(z-y)$$

Checa el signo del tercer término, $z^n(z-x)(z-y)$: Como $z \le x$ y $z \le y$, tanto $(z-x)$ como $(z-y)$ son no positivos. El producto de dos números no positivos es no negativo. Entonces: $$z^n(z-x)(z-y) \ge 0$$

Ahora considera los primeros dos términos. Puedes factorizar $(x-y)$ del segundo término si notas que $(y-x) = -(x-y)$: $$ \begin{aligned} \text{Término 1} + \text{Término 2} &= x^n(x-y)(x-z) + y^n(y-z)(-(x-y)) \ &= (x-y) \left[ x^n(x-z) - y^n(y-z) \right] \end{aligned} $$

Analiza los componentes de este producto basándote en el orden $x \ge y \ge z$:

1. $(x-y) \ge 0$ por lo que supusiste.
2. Como $x \ge y \ge 0$ y $n > 0$, se sigue que $x^n \ge y^n \ge 0$.
3. Como $x \ge y \ge z$, se sigue que $(x-z) \ge (y-z) \ge 0$.

Como $x^n \ge y^n$ y $(x-z) \ge (y-z)$, el producto de los términos más grandes tiene que ser mayor o igual al producto de los términos más chicos: $$x^n(x-z) \ge y^n(y-z)$$ Por lo tanto, la expresión entre corchetes $[x^n(x-z) - y^n(y-z)]$ es no negativa.

Así que: $$ \text{Término 1} + \text{Término 2} \ge 0 $$

Como la suma de los primeros dos términos es no negativa y el tercer término también lo es, la suma total $S$ es no negativa.

$$S \ge 0$$

La igualdad se cumple cuando $x=y=z$ (todos los términos se vuelven 0) o cuando $z=0$ y $x=y$ (el término 3 es 0, y el corchete en la combinación de los términos 1 y 2 se vuelve $x^n(x) - x^n(x) = 0$). $\square$