f(x) = c·log(x).
La solución logarítmica se refiere a la familia de funciones que cumplen la ecuación funcional $f(xy) = f(x) + f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}^+$. Esta es una de las cuatro Ecuaciones Funcionales de Cauchy fundamentales. La ecuación resume la propiedad fundamental de los logaritmos: transforman procesos multiplicativos en aditivos. Por eso, las únicas soluciones continuas para esta ecuación tienen la forma $f(x) = c \cdot \log_b(x)$ (o lo que es lo mismo, $k \ln x$).
Este concepto es clave en el álgebra de olimpiadas porque muchas ecuaciones funcionales complejas se pueden reducir a esta forma estándar. Muchas veces, un problema no te va a dar $f(xy) = f(x) + f(y)$ directamente. En cambio, puede aparecer disfrazada con exponentes o productos, y te toca a ti reconocer la estructura que hay detrás. Por ejemplo, las ecuaciones que tienen términos como $f(x^y)$ o productos de funciones suelen dar pistas de que se trata de una solución logarítmica.
Para asegurar que la solución se porte bien (o sea, que sea $f(x) = c \ln x$), el enunciado del problema suele darte una condición de regularidad, como continuidad, monotonicidad, que esté acotada en un intervalo o que sea continua en un solo punto. Sin esas condiciones, existen soluciones "salvajes" (