Aplicación directa de la fórmula (Σaᵢbᵢ)² ≤ (Σaᵢ²)(Σbᵢ²).
La desigualdad de Cauchy-Schwarz es una de las herramientas más fundamentales y versátiles en las matemáticas de competencia, y está a la par de la desigualdad MA-MG en cuanto a su utilidad. En su forma algebraica estándar, dice que para cualquier par de sucesiones de números reales, el cuadrado de la suma de sus productos término a término siempre es menor o igual al producto de las sumas de sus cuadrados. Esta desigualdad te permite acotar expresiones que involucran sumas de productos, lo que la hace indispensable para encontrar máximos y mínimos en problemas de álgebra, trigonometría y cálculo que aparecen en competencias como el AMC 12 y el AIME.
La intuición detrás de Cauchy-Schwarz la puedes entender mejor a través de la geometría de vectores. Si tomas las dos sucesiones como vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ en un espacio de $n$ dimensiones, la desigualdad dice que $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|^2 \le |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2$. Geométricamente, esto corresponde al hecho de que el coseno del ángulo entre dos vectores es, a lo mucho, 1. El "producto" de los vectores llega a su máximo cuando están perfectamente alineados (son paralelos). Por lo tanto, la igualdad algebraica se cumple si y solo si las dos sucesiones son proporcionales entre sí.
Dominar la forma estándar implica aprender a reconocer sucesiones "escondidas". Muchas veces, un problema te va a presentar una sola suma que no parece un producto de dos sucesiones. Una técnica clave es separar los términos de forma estratégica —por ejemplo, escribiendo un término $x_i$ como $\frac{x_i}{\sqrt{y_i}} \cdot \sqrt{y_i}$— para forzar que la expresión tenga una estructura donde puedas aplicar Cauchy-Schwarz para eliminar radicales o denominadores.
La Forma Algebraica Estándar Para cualesquiera números reales $a_1, a_2, \dots, a_n$ y $b_1, b_2, \dots, b_n$: $$ \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \le \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right) $$
Los Casos de 2 y 3 Variables Estos son los casos más comunes en competencias de nivel intermedio: $$ (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 \le (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) $$ $$ (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) $$
Condición de Igualdad La igualdad se cumple si y solo si las sucesiones son proporcionales. Es decir, existe una constante real $k$ tal que: $$ a_i = k b_i \quad \text{para todo } i = 1, \dots, n $$ (O $b_i = k a_i$ si todos los $b_i$ son cero). En notación de razón, esto se escribe normalmente como: $$ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} $$
Aquí tienes la demostración estándar usando el discriminante de un polinomio cuadrático. Esta demostración es muy elegante porque solo depende de propiedades básicas de las funciones cuadráticas.
Paso 1: Construye una función cuadrática Toma dos sucesiones de números reales $a_1, \dots, a_n$ y $b_1, \dots, b_n$. Define una función $f(x)$ como la suma de los cuadrados de binomios lineales: $$ f(x) = \sum_{i=1}^n (a_i x + b_i)^2 $$
Paso 2: Analiza las propiedades de $f(x)$ Como $f(x)$ es una suma de cuadrados de números reales, tiene que ser no negativa para todos los valores reales de $x$: $$ f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} $$
Paso 3: Desarrolla la suma Desarrolla el cuadrado dentro de la suma y agrupa los términos por potencias de $x$: $$ f(x) = \sum_{i=1}^n (a_i^2 x^2 + 2a_i b_i x + b_i^2) $$ $$ f(x) = \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) x^2 + 2 \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right) x + \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right) $$ Este es un polinomio cuadrático en $x$ de la forma $Ax^2 + Bx + C$, donde: $$ A = \sum_{i=1}^n a_i^2, \quad B = 2 \sum_{i=1}^n a_i b_i, \quad C = \sum_{i=1}^n b_i^2 $$
Paso 4: Usa el discriminante Sabes que la cuadrática $Ax^2 + Bx + C$ siempre es no negativa ($f(x) \ge 0$). Geométricamente, esto significa que la parábola abre hacia arriba (ya que $A \ge 0$) y o bien toca el eje x o se queda estrictamente arriba de él. Por lo tanto, no puede tener dos raíces reales distintas.
El discriminante $\Delta$ de esta cuadrática debe ser menor o igual a cero: $$ \Delta = B^2 - 4AC \le 0 $$
Al sustituir las expresiones para $A$, $B$ y $C$: $$ \left( 2 \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 - 4 \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \le 0 $$
Paso 5: Acomoda los términos para llegar al resultado final $$ 4 \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \le 4 \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right) $$ Si divides ambos lados entre 4, obtienes la desigualdad de Cauchy-Schwarz: $$ \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \le \left