Si es continua, f(x) = cx.
El concepto de "Aditividad Continua" se refiere al estudio de la Ecuación Funcional de Cauchy, $f(x+y) = f(x) + f(y)$, bajo la restricción específica de que la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea continua. Aunque la propiedad aditiva por sí sola es suficiente para determinar la estructura de la función sobre los números racionales ($\mathbb{Q}$), no basta para definir la función de forma única sobre los números reales ($\mathbb{R}$). Sin restricciones adicionales, existen soluciones "patológicas" (que involucran bases de Hamel) que son sumamente no lineales y discontinuas en todas partes.
La condición de continuidad actúa como un puente entre los racionales y los reales. En las matemáticas de olimpiada, este es un resultado fundamental: si una función cumple la ecuación de Cauchy y es continua (aunque sea solo en un punto), la función tiene que ser lineal, tomando la forma $f(x) = cx$. Este resultado es clave porque muchas ecuaciones funcionales complejas se pueden reducir a la de Cauchy mediante sustituciones o transformaciones. Una vez que la reduces, el problema cambia a demostrar que la función cumple con alguna condición de regularidad —como continuidad, monotonía o estar acotada— lo cual implica continuidad y, por lo tanto, linealidad.
La intuición detrás de la solución se basa en la densidad de los números racionales dentro de los números reales. Como puedes demostrar algebraicamente que