Obtener fórmulas para sen(nθ) y cos(nθ).
El Teorema de De Moivre te da un puente muy poderoso entre los números complejos y la trigonometría, lo que te permite sacar identidades trigonométricas de forma elegante que serían pesadísimas de demostrar usando solo métodos de variable real. La técnica principal es expandir el número complejo $(\cos \theta + i \sin \theta)^n$ de dos formas distintas: primero aplicas el Teorema de De Moivre directamente para obtener argumentos en múltiplos de $n\theta$, y luego aplicas el Teorema del Binomio para expandir la expresión algebraicamente. Al igualar las partes reales e imaginarias de estos dos resultados, puedes expresar $\cos(n\theta)$ y $\sin(n\theta)$ como polinomios en términos de $\cos \theta$ y $\sin \theta$.
Esta técnica es fundamental en las matemáticas de competencia, sobre todo para el AMC 12 y el AIME, ya que sistematiza cómo generar fórmulas de ángulos múltiples. Es el origen de los Polinomios de Chebyshev, que expresan $\cos(n\theta)$ puramente como un polinomio en $\cos \theta$. Por otro lado, puedes invertir este método usando las fórmulas de Euler para expresar potencias de funciones trigonométricas (como $\sin^5 \theta$) como sumas de senos y cosenos de ángulos múltiples, una técnica esencial para integrar y simplificar sumas trigonométricas.
La intuición viene de la propiedad de que la multiplicación compleja corresponde a la suma