Método uvw

Teoría

El Método uvw (también llamado seguido el método $pqr$) es una técnica de sustitución muy potente que sirve para resolver desigualdades simétricas en tres variables, normalmente $x, y, z$ (o $a, b, c$). La clave del método está en los polinomios simétricos elementales: $u = x+y+z$, $v = xy+yz+zx$ y $w = xyz$. Al escribir una desigualdad simétrica $f(x,y,z) \ge 0$ totalmente en términos de $u, v, w$, transformas el problema de uno de álgebra multivariable a un análisis de una función de una sola variable, que suele ser $w$.

Esta técnica es súper importante en las olimpiadas de matemáticas porque muchas expresiones simétricas, cuando las pasas a la notación $u, v, w$, se vuelven lineales o cuadráticas en $w$. Si la expresión es lineal en $w$ (de la forma $A(u,v)w + B(u,v) \ge 0$), los extremos de la función para $u$ y $v$ fijos tienen que estar en la frontera de la región posible para $w$. Esto lleva a la idea central del método, que a veces llaman el Tejs' Theorem: para demostrar una desigualdad que es lineal (o monótona) en $w$, basta con checar los casos límite donde dos variables son iguales ($x=y$) o una variable es cero ($z